ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Поверхности постоянной частоты из "Физическая механика реальных кристаллов" Однако для понимания ряда явлений, связанных с колебаниями решетки, более удобным является не аналитическая запись закона дисперсии (2.1), а его специфическое геометрическое (или, точнее. Топографическое) представление. Последнее связано с введением и анализом так называемых изочастотных поверхностей. [c.52] Построение изочастотных поверхностей осуществляется независимо для каждой ветви колебаний, поэтому в дальнейшем мы будем опускать индекс а при записи закона дисперсии (2.1), имея в виду одну из ветвей. [c.52] Сечениям семейства эллипсоидов (2.4) плоскостью, проходящей через их общий центр, можно снова сопоставить рис. 18, однако теперь 1 U2 (изочастотная поверхность для большей частоты помещается внутри поверхности для меньшей частоты). [c.53] Выяснив топологию изочастотных поверхностей у границ полосы собственных частот, заметим, что в силу свойств периодичности закона дисперсии точки, в которых м = О и со = сОт, должны периодически повторяться в обратном пространстве. Для изображения соответствующих геометрических образов рассмотрим пример достаточно симметричного кристалла, частоты колебаний которого принимают максимальные значения только в вершинах элементарной ячейки обратной решетки. [c.53] Обычно точки типа (О, Ь ) или а), через которые осуществляется переход от замкнутых изочастотных поверхностей к открытым, являются коническими точками в трехмерном к-простран-стве. [c.54] Фигуры на рис. 20, призванные проиллюстрировать появление конических точек, являются весьма схематическим изображением изочастотных поверхностей некого воображаемого кристалла. Желая дать представление о виде поверхностей постоянной частоты колебаний реального кристалла, мы приведем результаты фактически выполненных расчетов изочастотных поверхностей для ГЦК решетки А1. На рис. 21 показаны два сечения изочастотных поверхностей ветви продольных колебаний Л1 внутри одной зоны Бриллюэна (см. рис. 8, б). Дробные числа около линий сечения обозначают величину со/сот для рассматриваемой ветви колебаний. [c.54] ОСИ соответствующего конуса. [c.55] Значение со в конической точке определяется конкретным видом силовой матрицы А (п) рассматриваемого кристалла. [c.55] Используя (2.6) для характеристики изочастотных поверхностей, следует помнить, что они периодически повторяются во всем обратном пространстве. И под топологическим инвариантом мы будем понимать интеграл (2.6), вычисленный по той части изочастотной поверхности, которая находится в одной элементарной ячейке к-пространства. [c.56] Мы не будем доказывать, что величина X является топологическим инвариантом, но если принять это как известный математический факт, то мы сразу приходим к выводу, что для любой односвязной замкнутой поверхности % = I. Действительно, это равенство элементарно проверяется для сферы, а потому оно верно для любой поверхности, топологически эквивалентной сфере. [c.56] Покажем, что инвариант X (со) для изочастотной поверхности претерпевает конечный скачок, когда частота со проходит через значение сок, при котором на поверхности возникает коническая точка. [c.56] Проведем пару плоскостей кз= Q, проходящих на таком расстоянии от конической точки, где изочастотные поверхности еще имеют вид гиперболоидов, изображенных на рис. 21. Вычислим бХ (со) по части поверхности со (к) = со, ограниченной этими плоскостями. В целях упрощения расчета будем считать изочастотные поверхности вблизи конической точки гиперболоидами вращения (Т1== 72= V) и положим у О, 7з 0. [c.57] Сравнивая (2.11) и (2.12), мы видим, что при возникновении конической точки на. поверхности постоянной частоты топологический инвариант X (со) изменяется на единицу. Таким образом, процесс слияния двух участков изочастотной поверхности сопровождается уменьшением топологического инварианта X на единицу за счет каждой конической точки (приходящейся на одну элементарную ячейку обратной решетки). [c.57] Вернуться к основной статье