ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Оптимальное управление разветвленными комплексами из "Оперативное управление химико-технологическими комплексами" Приведем краткое изложение основных принципов некоторых методов математического программирования, используемых в дальнейших разделах книги. [c.22] Рассматриваемые методы решения задачи управления можно разделить на три группы прямые методы, с помощью которых осуществляется последовательное приближение к оптимальному управлению непря иые, с помощью которых осуществляется приближение к необходимым условиям оптимальности, и глобальные методы, с помощью которых проводится направленный или случайный перебор точек, распределенных во всем пространстве допустимых управлений. [c.22] К числу прямых методов можно отнести симплекс-метод линейного программированияразличные варианты градиентного метода Основной принцип этих методов заключается в последовательном переходе от одного допустимого реш ения к другому, лучшему. Прямыми методами удобно пользоваться при наличии ограничений однако они могут привести в точку локального, а не глобального экстремума. [c.22] Непрямые методы основаны на предварительном определении условий оптимальности и дальнейшем приближении к ним. К их числу относятся, например, метод определения условного экстремума функции многих переменных, применяемый в классическом анализе2 , и дискретный принцип максимума . Эти методы требуют большой осторожности при постановке задачи и проверки достаточных условий. Непрямые методы не всегда приводят к глобальному экстремуму. [c.22] Глобальные методы, к которым относятся метод полного перебора, метод статистических испытаний и метод динамического программирования , требуют высокого быстродействия п большого объема памяти вычислительной машины. Зато они приводят к глобальному экстремуму, а наличие ограничений не только не усложняет, но иногда облегчает нахождение решения. [c.22] Шаг итерации может быть постоянным или уменьшаться по мере приближения к экстремуму. При попадании на границу области (П,13) градиент проектируется на нее, и дальнейшее перемещение осуществляется в направлении проекции градиента на поверхность границы. [c.23] Симплексный метод отыскания экстремума функции (II, 17), разработанный Данцигом основан на последовательном переборе вершин многогранника ограничений таким образом, чтобы в каждой следующей вершине значение целевой функции было больше, чем в предыдущей. [c.24] Многие задачи нелинейного программирования решаются путем линейной аппроксимации этих задач, сведения их к задаче линейного программирования и использования симплекс-метода. [c.24] Решая систему уравнений (11,22), находят стационарную точку А . [c.24] Если есть ограничения в виде неравенств, задача определения экстремума функции многих переменных усложняется. Экстремальное значение функции цели может достигаться не только внутри области, заданной ограничениями, но и на ее границе. В этом случае условия существования экстремума определяются следующим образом (теорема Куна — Таккера) . [c.25] Соотношения (И,29) носят название условий дополняющей не-жесткости. [c.25] Если в ограничениях (И, 24) знак заменить знаком равенства, а область изменения х,- не ограничивать, то дополнительные переменные ы,- и и,- будут равны нулю и система уравнений (И, 28—И, 30) сведется к системе уравнений Лагранжа (И,22). [c.25] Метод динамического программирования, разработанный Р. Веллманом, является весьма эффективным методом оптимизации многостадийных процессов. Идея метода заключается в замене многомерной задачи оптимизации последовательностью задач меньшей размерности. Метод разбиения много-хмерной задачи на подзадачи зависит от вида функции цели и ограничений. [c.26] Последовательно применим формулу (И, 34), начиная с конца процесса, от к = п до к=. Значение / , полученное на первом этапе оптимизации, используем на втором этапе и т. д. [c.26] При этом на каждом этапе оптимизации ищется максимум функции только по одной переменной при одном ограничении (11,35). [c.27] Во многих задачах оптимизации независимыми пере.менными являются не числа, а функции. При этом цель оптимизации заключается в том, чтобы отыскать такие неизвестные функции Х (/), Х2 1),. .., х (/), которые обеспечивают максимум некоторой скалярной величины I, зависящей от этих функций и от их производных. [c.27] Вариационная задача, в которой заданы граничные условия (П,38), носит название задачи с закрепленными концами. [c.27] Неопределенный множитель Лагранжа .(П в этом случае представляет собой функцию независимой переменной /. [c.28] Условия трансверсальности и уравнения Эйлера для отыскания условного экстремума функционала также могут быть обобщены на случай нескольких неизвестных функций. [c.28] При решении вариационных задач часто возникают трудности, связанные с тем, что на переменные наложены ограничения в виде неравенств, или с тем, что отыскиваемые функции X ( ) не являются непрерывными. Для решения таких задач может применяться метод, разработанный Л. С. Понтрягиным и известный под названием принципа максимума. [c.28] Вернуться к основной статье