ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые специальные распределения, связанные с нормальным распределением из "Применение математической статистики при анализе вещества" Каждый экспериментатор знает, что если он производит небольшое число измерений, то результаты сходятся очень хорошо, и только затем, но мере увеличения числа измеренш , появляются большие расхождения. [c.78] Это ПОСТОЯННО наблюдаемое явление легко объяснить, исходя из нормального закона, согласно которому вероятность появления малых отклонения значительно больше, чем вероятность появления больших отклонений. Вероятность появления погрешностей по абсолютной величине, превышающих 2а, равна 0,05, поэтому, если мы сделаем 20 измерений, то здесь можно будет ожидать появления одного такого отклонения. Если же экспериментатор сделал всего два измерения, то естественно ожидать, что среди них таких больших отклонений не будет. Подсчет выборочных дисперсий производится простым суммированием квадратов отклонений, поэтому естественно, что ошибка, подсчитанная по малой выборке из генеральной совокупности, в большинстве случаев будет меньше, чем ошибка соответствующей ей генеральной совокупности. Если мы в выражение (4.13) подставим вместо а ее оценки, полученные по малым выборкам, то не получим нормального распределения. В силу этих обстоятельств классическая теория ошибок, основанная на нормальном распределении, неприменима для обработки малого числа измерений. Она нашла очень широкое применение в метрологии, астрономии и геодезии, где всегда выполняется большое число измерений, и ока.зывалась мало полезной при анализе вешества, где, как правило, делается небольшое число параллельных определений. Только с начала XX века стало развиваться новое направление в математической статистике, которое можно назвать статистикой малых выборок или микростатистикой. [c.79] Практически для любых значений и гамма-функция может быть вычислена с помощью таблицы значений Г (в). [c.80] Это иллюстрируется рис. 14. [c.81] Ниже из этой таблицы выписаны некоторые значения I для р = 0,05. [c.83] При / = 20 распределение Стьюдента еще довольно хорошо апроксимируется нормальным распределением. Большая разнхща в оценках, полученных с помощью нормального распределения и распределения Стьюдента, будет при / 10. Эта разница увеличивается с уменьшением числа степеней свободы /. [c.83] Поэтому если мы планируем опыты в условиях, когда генеральная дисперсия неизвестна, то с 95%-ной вероятностью можем ожидать, что при ге = 2 выборочная средняя будет отклоняться от генеральной средней в пределах 4 12,718 /1/2. Здесь пределы оказываются более широкими, чем в случае применения нормального распределения — из-за незнания генеральной дисперсии мы извлекаем из опытов значительно меньшую информацию. [c.84] По табл. 3 Приложения мы находим, что вероятность / ( г 7,0) лежит где-то между 0,10 и 0,05. Следовательно, вероятность ) 7,0) будет находиться где-то между 0,05 и 0,025. [c.86] Всякий раз, когда экспериментатор сталкивается с ситуацией, подобной описанной, он выдвигает так называемую нуль-гипотезу ), т. е. гипотезу о том, что изучаемый эффект оказывается в данном эксперименте незначимым. В приведенном выше примере нуль-гипотезой было утверждение об отсутствии систематического расхождения между паспортными данными и результатами анализа. Если значимость изучаемого эффекта оказывается 0,01, то нуль-гипотеза отвергается, если же значимость оказывается 0,05, то в зависимости от принятых условий нуль-гипотеза ставится под сомнение или также отвергается. [c.87] В нашем примере получилось очень большое расхождение между двумя оценками, так как анализ выполнялся всего из двух параллельных определений. Между этими двумя оценками есть глубокая принципиальная разница. В первом случае оценка точности производится только на основании результатов данного анализа при этом высказывается только одна гипотеза о том, что наши измерения являются случайной выборкой из генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению. Во втором случае высказывается еще гипотеза о том, что дисперсия, характеризующая ошибку воспроизводимости, является устойчивой величиной и что наша малая выборка является случайной выборкой из той генеральной совокупности, для которой раньше нами достаточно надежно была определена генеральная дисперсия. [c.88] Вопрос о том, чем пользоваться—распределением Стьюдента или нормальным распределением, решается каждый раз в зависимости от условий эксперимента. Распределением Стьюдента приходится пользоваться во всех тех случаях, когда аналитик делает определения по методике, которая не является стандартной для данной лаборатории, или когда он разрабатывает и изучает новые методы анализа, или, наконец, когда анализ одной и той же пробы проводится в разных лабораториях и доверительные границы для генерального среднего устанавливаются но межлабораторной ошибке воспроизводимости. Во всех этих случаях приходится определять ошибки воспроизводимости только по результатам данного эксперимента. В то же время, если мы имеем хорошо изученный и строго установившийся процесс анализа, то для установления доверительных пределов можно применять нормальное распределение, определяя генеральную дисперсию но результатам предыдущих текущих анализов, используя для этого данные аналитических архивов, как это было показано в предыдущей главе. [c.88] Одна из задач статистического анализа заключается в установлении доверительных пределов для генеральной дисперсии, если известна выборочная дисперсия. Эта задача решается с помощью -распределения ). [c.89] Доверительные границы оказываются асимметричными в соответствии с асимметрией кривых распределения. [c.91] В заключение нужно напомнить, что если дисперсия определяется по текуш,им измерениям, то число степеней свободы /=/ г(п—1). В этом случае при достаточно большом т мы получим узкие доверительные границы даже при очень низких значениях п, так как при соот-ветствуюш,их вычислениях везде га — 1 надо будет заменить на т п— ). [c.93] В экспериментальной работе часто возникает необходимость проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий о о, если известны выборочные дисперсии 51 и 8. Эта задача решается при помощи 7 -распреде-ления, которое также называется ц -распре делением, или распределением Фишера ). [c.93] По табл. 6 Приложения находим, что, 05(24,24) = = 2,0 0,20 (24,24) = 1,4. Следовательно, у нас нет основания отбрасывать или даже сомневаться в правильности нуль-гипотезы. Проведенные нами опыты не дают возможности утверждать, что контроль формы электродов на глазок ухудшает воспроизводимость анализа. [c.95] НИЯ / р (/б, /м), как это имело место в предыдущем примере, когда применялся односторонний критерий. [c.96] По табл. 6 Приложения находим / о,01 (24,14) = 3,4 0,001 (24,14) = 5,4. Следовательно, различие в ошибках воспроизводимости вполне значимо при 2%-ном уровне значимости. [c.96] Например, по табл. 7 Приложения находим, что 1,910 при /7 = 0,05 и / = 10. Это значит, что при 10 степенях свободы Р( г 1,910) 0,05. [c.97] Распределение величины г может быть получено из -распределения и, следовательно, также может рассматриваться как частный случай / -распределения. При больших значениях / /--распределение близко к нормальному распределению, при / — со мы получаем доверительные границы, соответствующие пределам для нормального распределения. [c.97] Вернуться к основной статье