ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Последовательная кристаллизация в одномерном случае из "Теория кристализации в больших объемах" Главной особенностью процесса последовательной кристаллизации является изменение во времени размеров области, в которой происходит теплопередача, и поэтому в данном случае невозможно использовать классические методы теории теплопроводности. Если закон перемещения границы рассматриваемой области задан, то задача отыскания температуры в этой области может быть сведена к решению интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра [50]. Вследствие сложности ядер этих уравнений при их решении возникают серьезные вычислительные трудности. [c.55] Функция я ) t) пока произвольна. [c.56] Выражение (1.19) удовлетворяет уравнению (1.12) и начальному условию (1.9), если 1) функция гр ( ) непрерывно дифференцируема бесконечное число раз с производными, не равными нулю тождественно 2) функция гр (1) обращается в нуль при I = х вместе со своими производными. [c.57] Выражение (1.32) служит для отыскания функции q (i), что решает задачу. Продолжение решения (1.22) в область х у (t), которое делается при переходе к выражению (1.32), возможно только при его ограниченности при х оо. Исследование этого вопроса в каждом конкретном случае должно проводиться специально. Если с течением времени реализуется стационарное состояние, при котором dyldt = onst, то возможность суммирования рядов в (1.22) является косвенным подтверждением правомочности осуществления проделанной операции. [c.60] Приведем весьма общий метод решения задачи теплопроводности для области с перемещающейся границей, который дает решение задачи, хорошо описывающее начало процесса (не очень большие значения t). [c.60] Воспользовавшись формулами (1.46) и (1.47), легко находим связь коэффициентов и с уп, что и дает решение задачи. [c.62] что 1п и), являясь линейной функцией(и) и (ы), также удовлетворяет рекуррентным соотношениям (1.46) и (1.47). [c.62] Вопрос о сходимости полученных рядов остается открытым и требует специального исследования. Однако ясно, что при достаточно малых t можно ограничиться небольшим числом членов ряда. [c.62] Вопрос о сходимости ряда (2.9) требует специального рассмотрения. Сходимость должна быть обеспечена для О т То, где У ( о) = 1 - По крайней мере в одном случае решение задачи может быть найдено в замкнутой форме. [c.64] Таким образом, мы получили трансцендентное уравнение для определения Ро, совпадающее с (1 1.11) ) при Гн = Гк (перегрев отсутствует) и Ро = у 2/а р. [c.64] Из изложенного ясно, что каждому виду функции у (1) соответствует свой закон изменения Т (О, Ь). Если задана функция у t), а требуется отыскать Т (х, t), то это — так называемая обратная проблема Стефана. Выражение (1.22) особенно удобно для ее решения [53]. С помощью выражения (1.22) можно записать уравнение для функции у 1) при различных тепловых условиях на боковой поверхности кристалла х = 0). [c.65] Начальное условие для этих уравнений у (0) = 0. [c.66] Решение задачи последовательной кристаллизации при задании на боковой поверхности плоского слитка температуры тк функции времени. [c.66] Решение задачи о росте кристалла в случае постоянного теплового потока через поверхность а = О [551. [c.67] По мере увеличения т суммарный вклад потока через поверхность X = О увеличивается и роль скрытой теплоты кристаллизации уменьшается. Поэтому при т сх1 получаем другой предельный случай, соответствующий охлаждению без кристаллизации полубесконечного массива, на поверхности которого задан постоянный тепловой поток. Распределение температур для указанного случая известно [56]. [c.67] Значения Y (т) и 0ц (т), полученные расчетным путем, приведены в табл. 1. [c.68] Оценка точности численных расчетов проводилась путем сравнения результатов при различных числах слоев на основании принципа Рунге [57]. Оказалось, что при числе слоев пг = 10 ошибка при т 100 во всех случаях меньше 2%. Точность расчета можно повысить как увеличением числа слоев, так и улучшением способа конечно-разностной аппроксимации. Данные, приведенные в табл. 1, получены путем экстраполяции на Да = О и верны вплоть до последней значащей цифры. [c.69] Приведем пример вычислений с помощью полученных выше соотношений. Пусть нужно рассчитать случай кристаллизации стали. Значения величин следующие Я = 20 ккал/м-час-град, у = = 7500 кг/м , Qq = 65 ккал/кз, с = 0,16 ккал/кг-град. Тепловой поток через поверхность кристалла / = 10 ккал/м -час. Требуется найти Т жу при i = 30 сек. Соответствующее значение т равно 1,68. Линейная интерполяция данных таблицы 1 дает Y = 1,172 и 0п = 0,916, что соответствует у = 11,3 мм и Гп = И28 °К. [c.69] Если поток через поверхность а = О меняется во времени, то в правой части выражения (2.25) будет стоять функция т. Решение задачи при этом несколько усложняется. [c.69] Вернуться к основной статье