ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Примеры применения функции нормального распределения Гаусса — Лапласа для обработки результатов химического анализа из "Математическая обработка результатов химического анализа" Последующие параграфы будут посвящены методам учета и уменьшения случайных ошибок с помощью относительно несложного аппарата математической статистики. Методы математической статистики достаточно общи и применимы к анализу разнообразных по своей природе случайных величин в разных областях науки и техники, имеющих дело с множествами событий или элементов, объединенных некой общностью. Несомненно, что результаты любых измерений, т. е. метрологические данные, а также сопровождающие их случайные ошибки могут рассматриваться как случайные величины. И хотя наше изложение посвящено частному вопросу — ошибкам химического анализа, ниже мы коротко остановимся на некоторых общих положениях математической статистики с те.м, чтобы в дальнейшем проиллюстрировать их применимость к решению определенного круга задач химического анализа. [c.50] Таким образом, чтобы охарактеризовать случайную величину, необходимо в первую очередь задать набор ее допустимых значений. Такой набор может быть задан, например, в виде конечного числа точек на отрезке числовой оси. Это гео-метрический образ так называемой конечнозначной дискретной случайной величины. Поскольку среди всех значений такой величины можно указать наименьшее и наибольшее, ее можно назвать также ограниченно случайной величиной. [c.51] Однако, приведенная характеристика случайных величин только со стороны набора возможных значений далеко недостаточна. Понятие случайной величины неразрывно связано с понятием распределения. Для полной характеристики случай-, ной величины наряду с ее возможными значениями следует указать, как часто она эти значения принимает. Иными словами, необходи.мо указать вероятность отдельных значений (для дискретных случайных величин) или вероятность принять значение, лежащее внутри того или иного интервала Сэтот способ в равной мере применим для дискретных и непрерывных случайных величин). [c.51] Объем приведенной выборки (кратность анализа) равен 6. И хотя это число может принимать различные, большие или меньшие значения, в реальных ситуациях оно всегда остается конечным прежде всего потому, что масса анализируемой пробы всегда ограничена, а для каждого параллельного анализа требуется определенная доля пробы, тем большая, чем менее чувствителен применяемый метод анализа. В силу указанных обстоятельств результаты химического анализа всегда представлены конечнозначной случайной величиной. [c.52] Наконец, характеризуя результаты химического анализа как случайную величину, следует отметить их очень существенную особенность — неравномерность распределения результатов по отдельным значениям. Такая неравномерность не является очевидной для малых выборок, подобных вышеприведенной. Однако, если число параллельных анализов достаточно велико (п -30), нетрудно заметить, что большая часть результатов группируется около среднего значения, а значительные отклонения от среднего (в обе стороны) редки, причем, чем больше абсолютная величина отклоиения, тем менее вероятно появление такого результата. [c.53] Вернемся теперь к последней части определения случайной величины, где говорится о вероятностях ее отдельных значений. Каким образом можно задать эти вероятности, т. е. по существу саму случайную величину Самый простой способ — привести числовую сводку (таблицу) всех значений случайной величины рядом с соответствующими им величинами вероятностей. Способ этот, во-первых, достаточно громоздок, а во-вторых, требует для своей реализации специальных определений величин вероятности, что далеко не всегда оказывается простым делом. Вместе с тем существует немало случаев, когда величины вероятностей изменяются относительно самих значений случайной величины закономерным образом, т. е. существует некоторая зависимость между вероятностью случайной величины принять то или иное значение (или ряд значений) и самой случайной величиной (или интервалом ее возможных значений). В связи с этим в математической статистике широко используются понятия закона и функций распределения. Рассмотрим в качестве примера так называемое биномиальное распределение, с помощью которого решается широкий круг практических вопросов. [c.53] Данное распределение называется биномиальным, поскольку вероятности и совпадают с членами разложения бинома Ньютона (р - - 7) . Биномиальное распределение — пример неравномерного распределения дискретной конечнозначной случайной величины. [c.54] Поскольку два альтернативных случая хКа и х а взаимно дополняют друг друга до достоверного события, это свойство достаточно очевидно. [c.55] Р(х) с изменением самой случайной величины X. [c.56] Таким об(разо.м, интешируя функции (р(х) ка интервале [а, Ь], можно вычислить вероятности Р[ ь] = Р а л ) пребы1ва]ния случайной величины в заданном интервале значений. Отметим сразу же, что в практическом исследовании случайных величин, и случайных ошибок в частности, исследователей интересует именно эта вероятность, т. е. вероятность того, что случайная величина (ошибка) ие выпадает из интервала значений заданной ширины. [c.56] пример дифференциальных функций распределения непрерывных случайных величин. [c.57] Параметры распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Параметры—это постоянные величины, которые входят в закон или функцию распределения. Очевидно, что любое закономер- ное распределение случайной величины требует для своего описания по меньшей мере двух параметров, один из которых характеризует центр рассеяния, т. е. определяет средний уровень значений, а другой—степень рассеяния. Такими параметрами являются математическое ожидание М х) и дисперсия В х) случайной величины х. [c.57] Поскольку выборочная совокупность всегда конечнозиачна и составляет только более или менее представительную часть генеральной, необходимо ясно представлять себе, что вполне точная количественная характеристика последней по существу недостижима. С другой стороны, чем представительнее выборка, тем более надежные данные могут быть получены при ее статистической обработке. [c.59] Последнее свойство справедливо только для незав исимых случайных величин. Величины являются независимыми, если каждая из них принимает то или иное значение независимо от того, какое значение приняла другая величина. [c.60] Использование перечисленных свойств облегчает вычисление среднего. [c.60] Представим величину А в виде А = 28,2 х. Тогда А = 28,2 -Ь = 28,2 + (0,4 + 0,1 + 0,2 -Ь 0,3 — 0,2 + 0,6)/7 = 28,4. В.ме-сто величины 28,2 за начало отсчета м ожно выбрать любую угую величину, например 28,4. Тогда А = 28,4 - -у и А = 28,4 Ч- 7 = 28,4 -Ь (0,2 — 0,1 — 0,2 -Ь 0,1 — 0,4 + 0,4)/7 = = 28,4. [c.60] Эту величину принято называть выборочной дисперсией и обозначать символом смысл которого будет ясен из дальнейшего изложения. Величина п—1) в знаменателе уравнения носит название числа степеней свободы статистичёокой выборки. [c.61] Дисперсия является удобной мерой рассеяния, поскольку в равной мере учитывает отклонения отдельных результатов от среднего как в большую, так и в меньшую сторону и одновременно усредняет их по вс,ем результатам. Если в качестве меры рассеяния брать среднее арифметическое всех отклонений, то отклонения разных знаков взаимно компенсируют друг друга, и результат всегда будет равен нулю. [c.61] Пример вычислений по этой формуле будет приведен ниже после ознакомления с некоторыми свойствами дисперсии. Коротко ее свойства можно суммировать набором следующих равенств. [c.61] Поскольку выборочная дисперсия выборочной совокупности (хь Х2, Х5,. . ., Хп) не совпадает с дисперсией бесконечнозначной генеральной совокупности (хь Хг, Хз,. . ., Хоо), величины соответствующих среднеквадратичных отклонений тоже не совпадают, т. е. [c.63] Вернуться к основной статье