ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Преобразование краевых и начально-краевых задач к вариационным уравнениям и задачам минимизации функционалов из "Механика полимерных композиционных материалов" Материал данного параграфа является подготовительным для формулировки метода конечных элементов и некоторых вариантов метода конечных разностей, о которых речь пойдет в следующих параграфах. Отметим, что обоснование проводимых ниже преобразований приведено в [15]. [c.158] Вариационное уравнение (4.3) удобнее тем, что его вывод и использование никак не связаны с физическим смыслом рассматриваемой задачи кроме того, к уравнению (4.3) без труда прпмеия ются стандартные схемы дискретизации — перехода к конечномерным задачам. [c.159] Воспользовавшись теперь основной леммой вариационного исчисления [7], заключаем, что из уравнения (4.9) следует уравнение (4.1). [c.160] Так как Е8 1) 0, и 1) произвольно, то из условия (4.23) следует, что решение этого уравнения удовлетворяет второму из условий (4.15), что н требовалось доказать. [c.161] Заметим, что прп приближенном решении задачи (4.18) и минимизации функционала (4.20) второму из условий удовлетворять не обязательно если эти задачи решены точно, то, как только что установлено, второе из условий (4.15) удовлетворяется автоматически. Условия такого типа в вариационном исчислении называются естественными. Условия типа (4.2), которые необходимо включить в определение множества V называются главными. [c.161] Таким образом, решенпе задачи существует лишь при условии, что правые части в уравнении и краевых условиях удовлетворяют соотпошенпю (4.25). [c.162] При приближенном решении уравнения (4.27) и минимизации функционала (4.28) базисные функции доллгны удовлетворять условию (4.26). [c.162] Механический смысл ограничений (4.41) состоит в том, что главный вектор и главный момент внешних воздействий, приложенных к изгибаемому стержню, должны равняться нулю в противном случае статическая постановка задачи смысла не нмеет. [c.164] Другие возможные виды краевых условий рассматривать пе будем — они получаются комбинацией рассмотренных выше условий и переносом построений предыдущего примера на рассматриваемую здесь задачу. [c.164] Обратный переход от уравнения (4.53) к задаче (4.45), (4,46) проводится с пснользованпом предположения о существовании вторых производных решения уравнения (4,53), формулы Гаусса — Остроградского и основной леммы варнацнонного исчисления. [c.166] Данная задача также эквивалентна задаче минимизации функционала (4.81) (с определением Ь ) по формуле (4.85)). [c.169] Совершеипо аналогичным способом строятся варнациоипые уравнения, отвечающие остальным рассмотренным выше задачам в случае учета сил инерции (ввиду очевидности этих построений проводить их не будем, предоставляя соответствующие преобразования в качестве упражнения). [c.170] Вывод варнационных уравнений и функционалов, с помощью которых определяются собствепные значения и собственные формы, для остальных рассмотренных выше задач предоставляется в качестве упражнения. [c.172] Вернуться к основной статье