ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Получение условий оптимальности на основе модульного подхода из "Оптимальное управление процессами химической технологии" Изложим методику получения расчетных соотношений, следующих из необходимых условий оптимальности, и сближающихся оценок, основанных на достаточных условиях оптимальности. Не будем приводить доказательств, ограничимся краткими пояснениями на эвристическом уровне, призванными убедить читателя лишь в том, что предлагаемая методика правдоподобна. [c.106] Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Выше было сказано, что необходимые условия оптимальности конечномерной задачи нелинейного программирования НП могут быть получены как условия стационарности функции Лагранжа для этой задачи. Условия оптимальности усредненной задачи НП выражаются через ту же функцию Лагранжа, но как условия ее максимума по искомым переменным. Наконец, для задачи НП , где усреднение проведено только по части переменных, функция Лагранжа стационарна по одним и максимальна по другим переменным. Аналог последней ситуации имеет место и для бесконечномерных задач. [c.106] Последовательность получения необходимых условий оптимальности на основе приведенной ниже теоремы содержит три основных этапа. [c.106] Его подынтегральное выражение К будем называть функцией Лагранжа соответствующей задачи. [c.106] Основные конструкции, необходимые для составления функции Лагранжа В, собраны в табл. П,1 и 11,2. В табл. II.1 сопоставлены критерии оптимальности / и слагаемые функции В. В табл. 11,2 каждому типу условий в форме равенств (связей) соответствует слагаемое В функции 7 . [c.107] Определение. Задачей оптимизации общего вида будем называть задачу, критерий оптимальности которой совпадает с одним из критериев табл. 11,1, а множество допустимых решений определено произвольным составом условий из числа тех, которые приведены в табл. 11,2. [c.107] Подчеркнем, что как ту, так и другую таблицу можно расширить без всякого изменения методики, излагаемой ниже. Данное определение остается в силе применительно к расширенным таблицам. [c.107] Для удобства формулировки условий оптимальности все составляющие первой группы будем обозначать через и (t), а второй — через X (t). [c.109] Решение и (t) находим в классе кусочно-непрерывных, а X (t) — кусочно-дифференцируемых функций. [c.109] Здесь N — общее число составляющих решения, отнесенных ко второй группе. [c.109] Замечание 6. Возможность введения в функцию R слагаемых, соответствующих условиям в форме неравенств, позволяет рассматривать задачи с ограничениями на х, учитывая эти ограничения добавлением соответствующих слагаемых к функции R. [c.111] При использовании условий стационарности множество сравнения L уже, чем при использовании ус.ловий максимума Н, и число претендентов на решение в общем случае больше. [c.111] Практически трудно проверить, находится ли решение задачи в экстремальной точке системы связей. Решение находят исходя из предположения, что Яо = 1. Если есть подозрение, что решение находится в вырожденной точке, то выделяют множество таких точек, подставляя укороченную функцию R при Яд = О в выражения (П-88)—(И-88в). Все экстремальные решения нужно сравнить с обычными решениями, подставив их в критерий оптимальности I. [c.111] Учитывать в функции R все условия задачи вовсе не обязательно. Некоторые из них, как правило, наиболее простые, можно отнести к условиям, характеризующим множество F, на котором определена функция Лагранжа. К ним относят обычно ограничения на и и начальные условия для х, когда х vi и связаны дифференциальными уравнениями. [c.111] Условия, которые позволяют определить одну из функциональных составляющих искомого решения через известные остальные составляющие, назовем определяющими. См., например, табл. П,2, условия 3 — 5. Число таких определяющих связей должно быть меньше числа функциональных составляющих искомого решения. [c.111] Причем переменные v (t) относятся к первой группе. [c.111] Следствия из теоремы П-1. В приведенных ниже примерах показано, что для важных классов задач оптимизации из теоремы II.1 следуют условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, теоремы Куна — Таккера и некоторые другие результаты. [c.112] Следствие 1. Принцип максимума Понтрягина. [c.112] Записанные соотношения составляют принцип максимума Понтрягина. Приведем его формулировку. [c.112] Следствие 2. Условия трансверсальности. [c.113] Вернуться к основной статье