ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Задачи с интегральными ограничениями. Алгоритмы перераспределения из "Оптимальное управление процессами химической технологии" Рассмотрим класс экстремальных задач, в которых имеются ограничения на суммарное количество некоторого ресурса. Формально такое ограничение отражено в задаче условиями интегрального типа (см. табл. 11,2 строка 1) или их конечномерными аналогами. Выделение этого класса задач оправдано тем, что задачи такого рода весьма часто встречаются в технике и, в частности, в химической промышленности. Кроме того, это рассмотрение позволяет дать примеры конкретизации вычислительных алгоритмов, приведенных ранее в канонической форме. Наконец, для этих задач очень полезна специфическая комбинация алгоритма исключения зависимых переменных и алгоритма проектирования градиента. [c.156] Методы решения конечномерных задач удобно рассмотреть на конкретных примерах. [c.156] Пример II 1.3. Распределение сырья или нагрузок между параллельными агрегатами. [c.156] Здесь XI = (а /,, ж,2, хщг) — вектор распределяемого ресурса. [c.157] В качестве ресурса может выступать и нагрузка агрегатов. В этом случае требуется распределять ее так, чтобы при заданной суммарной нагрузке минимизировать суммарные расходы на сырье. [c.157] Заметим, что характеристики агрегатов могут зависеть и от режимных параметров каждого из них. В задаче (111-40)—(111-41) предполагается, что для каждого Х1 режимные параметры агрегатов выбраны таким образом, что по ним ф (г, ж,) достигает максимального значения. Иначе говоря, ф (г, ж,) есть условно-оптимальные характеристики агрегатов. [c.157] Подобные задачи возникают и в многоканальных системах регулирования. В этом случае г — период переключения каналов ж,- — время подключения регулятора к г-му каналу Т (г, я ) — зависимость качества регулирования от времени подключения для г-го канала. [c.157] Поставленные задачи являются частным случаем общей задачи нелинейного программирования. Методы решения задачи НП первоначально используем применительно к двум первым примерам, формальная постановка которых одинакова. [c.158] Подчеркнем, что в условиях (111-44) — (111-45) правая часть одинакова для всех 1. Индекс / соответствует /-той составляющей вектора х . [c.158] Применительно к задаче из примера II1-3 условия (111-44) означают, что при оптимальном распределении ресурса г относительный эффект ( , х1) дх1 от вложения ресурса одинаков для всех агрегатов, на которые он выделен, и зависит только от вида ресурса. В первом случае при перераспределении ресурса мы не получим выигрыша, если при таком перераспределении ресурсы выделенные отдельным агрегатам, меняются на сколь угодна малое значение. [c.158] Условие (1П-46а) позволяет найти х ) и, подставив их в равенство (П1-41), определить г. [c.159] Рассмотрим вычислительные аспекты решения задачи (111-40) — (111-41), которую ниже будем называть исходной. [c.159] Как и в алгоритме проектирования градиента, здесь происходит выравнивание относительных приростов критерия эффективности на каждой итерации и выполняется условие постоянства суммы х от итерации к итерации. Отличие состоит в том, что в качестве эталона для сравнения относительных приростов фигурирует не средняя эффективность, а величина Я, определяемая формулой (111-48). Напомним, что для бесконечномерной задачи, в которой вместо условия (111-41) присутствует условие в форме интеграла, такой алгоритм (в чистом виде) непригоден. [c.160] Переход к расширенной задаче означает замену ограничения на объем ресурса ограничиваем на его среднее значение при многократном распределении. Критерий эффективности также должен быть максимальным в среднем, а не для каждого акта распределения. [c.161] Усредненная постановка имеет и технический смысл. Представим себе, что к параллельно работающим агрегатам сырье-подается из емкости, запас в которой V = гТ задан и рассчитан на работу в течение времени Т. Тогда за период Т мы можем работать с любым общим ресурсом, лишь бы среднее его потребление в единицу времени было равно г. [c.161] В правой части равенства здесь стоит функция Лагранжа исходной задачи распределения. [c.162] При использование алгоритма перераспределения предполагают, что вдоль траектории поиска градиент ограничения по ресурсу не обращается в нуль. [c.166] Однако решение задачи в классе кусочно-непрерывных функций может и не существовать, например если на некотором интервале внутри [О, Т условие (Ш-58) определяет не единственное и t, Я), а несколько таких зависимостей. В этом случае решение задачи существует в классе максимизирующих последовательностей. [c.166] Решение в классе кусочно-непрерывной функции здесь не существует, так как доля времени, в течение которого и = ищ, зависит от t. При s О получим решение в форме максимизирующей последовательности. [c.168] Вернуться к основной статье