ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вычислительные аспекты вариационного исчисления из "Методы оптимизации в химической технологии" Коэффициент ири —х в последнем выражении представляет собой уравнение (V,i39), что и доказывает справедливость соотношения (V,141). [c.214] Как и в предыдущем случае, первый интеграл (У,140) есть дпф-ференцкальное уравнение первого порядка, решение которого может быть записано в форме (У,138). [c.215] На основании условия (У,143) выражение, стоящее иод знаком интеграла, есть полный дифференциал, т. е. величина интеграла не зависит от пути интегрирования или, другими словами, величина функцпонала не зависит от вида функции х (/). [c.215] Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполиения гранпч1п11х условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы попять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных мап]пнах. [c.215] Для того чтобы рассмотреть причины указанной неустойчивости, проанализируем решение дифференциального уравнепия (У,145) с пч пользованием конечно-разностного соотношения (У,148). [c.216] Из выражения (У,151) следует, что в зависимости от того, больше илп меньше единицы величина выражения, стоящего в фигурных скобках, ошибка в определении величины х ( ) может либо увеличиваться, либо уменьшаться с возрастанием значения /. [c.217] Рассмотренная неустойчивость решения является серьезным препятствием при решении дифференциальных уравнений численными методами, когда невольно приходится ограничиваться конечной точностью иредставлення чисел, в результате чего погрешность решения может достигать значительной величины. Следует отметить, что если ири решении одного дифференциального уравнения первого порядка еще можно предусмотреть некоторые методы устранения неустойчивости, то при интегрировании систем дифференциальных уравнений задача обеспечения устойчивости решения становится весьма серьезной и иногда даже непреодолимой на пути получения решения оптимальной задачи. [c.219] Чтобы можно было воспользоваться соотношением (У,161) для численного интегрирования уравнения (V, 158), необходимо в начале процесса интегрирования знать значения х (/ 0)) и х I- А/). Поскольку для уравнения Эйлера (У,133) граничные условия могут быть заданы в различных точках интервала интегрирования (V,135), величина л (/ Аг ) должна быть задана для начала интегрирования в известной мере произвольно, после чего становится возможным примене1[ие формулы (У,161) для оиределения значения х на другом конце интервала интегрирования, т. е. величины л (/ ) Результат сравнения найденного значения х (/( ) с заданными условиями (V, 135) служит для коррекции первоначально принятого значення Л (/(0) А ). Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между рассчитанным X (/( )) и заданным значениями х (/) на конце интервала интегрирования. [c.220] Для нелинейных уравнений трудно указать какие-либо эффективные методы поиска значения х - - А/), за исключением самого обш,его, который заключается в решении задачи минимизации рассогласования рассчитанного и заданного значений х (/ ). На практике поиск значения х Ь А/), кроме того, осложняется еще неустойчивостью решения, приводящей к значительным колебаниям рассчитанного значения х (/ ) при относительно малых изменениях величины X + At). [c.220] Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220] Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220] Следует отметить, что число уравнений в системе (У,165) может быть довольно велико, так как от значения N зависит точность получаемого решения, которая увеличивается с возрастанием N. [c.221] Если концы экстремали закреплены, например условиями (У,135), то число уравнений в системе (У,167) уменьшается на два, так как прн этом значения и заданы. [c.221] Решение системы уравнений (У,169) позволяет найти значения экстремали в заданном числе точек и тем самым построить кусочнолинейную функцию, аппроксимирующую экстремаль функционала (V,lб2). [c.222] Вернуться к основной статье