ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Формулировка принципа максимума на примере задач о быстродействии из "Методы оптимизации в химической технологии" П[)и любом другом управлении, отличающемся от оптимального, получаемая в результате траектория уже ие будет переводить процесс в конечное состояние за минимальное время. При этом неопти-мальпая траектория либо попадает в конечную точку за время большее, чем т ,, либо вообще при этом управлении в конечную точку попасть невозможно. [c.323] Если величина интервала времени Ат, на котором оптимальное управление заменяется произвольным постоянным значением, выбрана достаточно малой, то отклонение от оптимальной траектории тоже мало. Очевидно, что это отклонеине уже может дать представление о том, оптимальна или пет исходная траектория. [c.323] При вычислении коэффициентов системы уравнений в вариациях, т. е. производных д р11дх , необходимо иметь в виду, что эти производные изменяются вдоль всей траектории и характеризуются значениями х (/) н Ыо, . (/), соответствующими оптимальной траектории процесса. [c.326] Можно показать, что через любую точку оптимальной траектории, соответствующую произвольному моменту времени t, в том числе и чере .1 конечную точку траектории t х,., проводится такая гиперплоскость, что при любых игольчатых вариациях управления для моментов времени г t точки варьированных траекторий f)X (I) располагаются по одну сторону этой гиперплоскости, причем именно с той стороны, с которой к ней подходит оптимальная траектория. [c.327] Полученное соотнонюнне (VI 1,38) и является аналитически м в ы р а ж е и и с м принципа максимума. Оно означает, что в каждой точке траектории оптимальное управляющее воздействие должно выбираться из условия достижения максимального значення величины скалярного произведения 1 р (j , ti), X ]. При этом оптимальное управление определяется как ( пункция величин х и X, т. е. как функция положения точки на траектории х (/ ) и вектора нормали отсекающей плоскости % (/), проведенной через данную точку. [c.329] Для использования соотношения (VII,38) при решении оптимальной задачи необходимо еще иметь уравнения, oпи ывaюп иe изменение вектора к вдоль траектории. Для вывода этих уравнений потребуем дополнительно, чтобы скалярное произведение (VII,33) было постоянной неположительной величиной вдоль траектории, т. е. [c.329] для оптимизации процесса, описываемого системой уравнений (УП,8), в смысле наискорейшего перевода его из заданного начального состояния в заданное конечное л , можно воспользоваться условием (УП,38), в котором для определения компонентов вектора %. 1) применяется нетривиальное решение системы уравнении (УП,45). [c.330] При произвольном числе управляющих воздействий, т. е. когда размерность вектора управления г , найденные выше соотношения будут справедливы, если в уравнениях (УП,8) и (УП,45) и условии (УП,38) управляющее воздействие и заменить на вектор управления и. [c.330] Согласно выражениям ( 11,50) п ( 11,52) функцию Я иногда называют гамильтонианом, подчеркивая тем самым ее сходство с гамильтонианом уравнений движения материальной точки, в которых роль вектора к выполняет вектор импульса движения. [c.331] Свойства функции Н. Можно доказать что функция Я, рассматриваемая как функция независимой переменной I, т. е. вдоль траектории процесса, при оптимальном управлении оп,.. (/) непрерывна и, кроме того, сохраняет постоянное значение вдоль всей траектории. [c.331] Вернуться к основной статье