ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вычислительные аспекты принципа максимума из "Методы оптимизации в химической технологии" Изложим методику решения оптимальной задачи с нримененпем соотношения максимума (УП,47), т. е. на примере задачи о быстродействии. В более общем случае минимизации функциопала, когда нужно использовать соотношение максимума в форме (Vn,91), вычислительная процедура по существу не изменяется, за исключением ряда особенностей, которые отмечены нил е. [c.343] ставится задача отыскания оптимального управления для процесса, описываемого системой дифференциальных уравнений (Vn,l), которое переводит его из некоторого начального состояния в конечное, причем в общем случае оба состояния не обязательно фиксируются заданием всех переменных. [c.343] Выражение (VII, 119), разумеется, не всегда может быть получено в аналнтическо форме и то1 да его представляют в виде результатов численного решения задачи максимизации функции Н выбором управляющих воздействий u (I , . . г), т. е. в форме таблиц или графиков. [c.344] Таким образом, поставленная оптимальная задача нолностью решена, в результате КТО определено оптимальное управление (VII,136), получена оптимальная траектория (VII, 137) и найдено время перехода процесса но данной траектории (VII, 135). [c.345] Из выражения для функции Я (VII,142) следует, что она дости - ет максималь-H(JЙ величины, если управляющее воздействие в каждый момент времени имеет максимальное по модулю значение и знак, совпадающий со знаком функции Яз (О, т. е. [c.346] И 1 фазовой плоскости неременных Ху и Хо область конечных состояний изобра-жао.тс прямой линией ,/ 2, проходящей через начало координат (рис. VИ-I1, а). Траектории процесса для управления постоянного знака имеют вид парабол, обра-Н1,епных выпуклостью вниз для положительного управления (рпс. VИ-l 1, б) и вверх ---для отрицательного (рис. VИ-ll, в). Направление движения по траекториям показано на рнс. VИ-ll стрелками. [c.347] Время перехода процесса из произвольного начального состояния для области, ограниченной линией s AiO-ik , в конечное состояние на линии можно определить, если уравнения (VII, 149) с учетом значений постоянных интегрирования (VII,151) подставить в уравнение линии конечных состояний (VII,140). Решая полученное уравнение относительно t, находим-. [c.348] Для начальных состояний иа области, ограниченной линией ВхА Оук,,-. [c.348] Следовательно, число слагаемых в выражении для функции Н ( П,92) можно уменьшить па 1, т, с. [c.349] Другими словами, д [я функции Н, онисываемои выражением (VI 1,165), по-прежнему справедливо утверждение о равенстве нулю на оптимальной траектории (VII,90), поскольку слагаемое иа основании условия (VI 1,164) тождественно равно нулю. [c.349] Поскольку все величины, через которые определяется значение Я (VII,181), являются константами, тем самым доказано, что оно постоянно на оптимальной траскто 1ПИ. [c.351] В простейшем случае, когда начальная и конечная точки оптимальной траектории фиксированы заданием значений всех неременных с(к тояния Xi, граничные величины для функций (/) не заданы [см. соотношения (VII,117)]. Следовательно, вначале и конце траектории задано по m значений для всех переменных Xi (t - I,. . ., т). [c.354] Аналогично, если все или некоторые переменные состояния л в начале илн конце траектории не определены, но должны удовлетворять заданным условиям типа (VII,104) илн (VII,III), то вместо недостающих значений х или ki используется соответствующее число соотношений (VII,110), определяемых условиями трансверсальности. [c.354] При численном интегрировании систем уравнений для начала процедуры нужно задать начальные значения всех без исключения неизвестных функций. Поскольку для систем уравнений (VII,1) и (VII,48) на любом конце траектории заданы только т значений функций x (1) и X (/) при общем их числе 2т, недостающие т значений должны задаваться до некоторой степени произвольно и затем уточняться по заданным значениям функций x (/) и (/) в конечной точке траектории. [c.354] После нахождения оптимального управления Uom. Ц I 0 Делается следующий шаг интегрирования н определяются значения i 2А/) и Х (/(0) 2Д/). Затем снова вычисляется оптимальное управление пт. I 2Л/) и т. д. [c.356] Некоторые приемы решения таких задач описаны в главе IX. [c.356] Вернуться к основной статье