ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Симметрия комплексных нормальных координат в пространственной группе из "Колебательные спектры и симметрия кристаллов" Рассмотрим теперь переход от группы волнового вектора к пространственной группе. [c.111] При заданном волновом векторе я совокупность 1т нормальных координат 2, / ) не описывает всех нормальных колебаний кристалла, частота которых одинакова вследствие симметрии пространственной группы. Возьмем какую-нибудь операцию симметрии пространственной группы, вращательная часть которой Яг преобразует вектор я в век-гор Я2, отличный от я. но обязательно равный ему по модулю. Можно показать, что волновой вектор Я2 = КаЯ относится к колебаниям той же частоты, что и волновой вектор я- В самом деле, можно ввести новую систему координат, в которой вектор Я2 имел бы ту же ориентацию и те же составляющие, что и вектор я в старой системе координат. Следовательно, матрица Фурье, относящаяся к вектору Яг и выраженная в этой новой системе координат, эквивалентна матрице Фурье, относящейся к вектору я и выраженной в старой системе координат, а поэтому обе матрицы приводят к одному и тому же вековому уравнению и, следовательно, к одинаковым корням т. [c.111] Исходя из волнового вектора я можно получить, вообще говоря, некоторое число е волновых векторов я, Яг,. .., Яе, отличающихся друг от друга (неэквивалентных), которым соответствуют колебания одинаковой частоты. Полученные таким образом е векторов образуют звезду волнового вектора я, которую мы обозначим через (я). Каждый волновой вектор множества я образует луч звезды [28]. [c.111] С —положение вектора q/2л соответствует общему случаю, звезда д) имеет 8 лучей б —вектор я/2я лежит на оси второго порядка, у звезды q] —4луча в конец вектора д/2я лежит на поверхности зоны Бриллюэна, у звезды д — 4 луча (пунктиром обозначен вектор, эквивалентный вектору д). [c.112] На практике в большинстве случаев нужно знать не явный вид матриц неприводимых представлений пространственных групп, а только их характеры. Ниже будет показано, как можно найти эти характеры, если известны характеры допустимых неприводимых представлений группы волнового вектора. [c.112] Векторам q, q2,. .., q , образующим звезду, соответствуют в том же порядке группы волновых векторов S (q), (Яг),. ... .., Можно показать, что эти группы изоморфны. [c.112] Рассмотрим звезду, неприводимое представление (т) группы (я), и расположим в столбцовую матрицу X е нормальных координат, описывающих колебания кристалла с одинаковой частотой и, следовательно, образующих базис неприводимого представления пространственной группы. Операция Н, + Тд) может оставлять инвариантными или преобразовывать в эквивалентные векторы некоторое число векторов звезды. Каждая нормальная координата, соответствующая одному из этих векторов, в результате операции симметрии преобразуется в линейную комбинацию нормальных координат этого же волнового вектора. [c.113] Каждой /т-мерной совокупности координат, удовлетворяющей требованию инвариантности своего волнового вектора, соответствует субматрица размерности 1т, расположенная на главной диагонали квадратной матрицы размерности 1тХе представления 0( [(/ , trt-l-т )] пространственной группы. [c.113] Волновым векторам звезды, не инвариантным относительно операции симметрии, соответствуют нормальные координаты, преобразующиеся в нормальные координаты разных волновых векторов. Субматрицы соответствующих преобразований не находятся на главной диагонали и, таким образом, не дают вклада в характер представления. [c.113] Все неприводимые представления пространственной группы, необходимые для изучения конкретной проблемы, можно получить путем выбора звезд q и комбинирования каждой из них со всеми допустимыми представлениями (q). [c.114] Примеры вычисления таблиц характеров пространственных групп читатель найдет в работах [24, 178]. [c.114] Вернуться к основной статье