ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Тише едешь, дальше будешь из "Эти замечательные цепи" Есть такая детская игра тише едешь, дальше будешь . Существует много ее разновидностей, но смысл всех примерно одинаков каждый играющий должен быстрее других добраться от пункта А до пункта Б, изображенных иа карте (рис. 1). Весь путь при этом разбивается на отдельные этапы — отрезки. Перемещение на то или иное количество отрезков определяется результатом бросания игральной кости в виде кубика. Для большего интереса в игру вносятся различные условия. Например при попадании в пункт 2 играющий пропускает очередной ход — попадает в яму , при попадании в пункт 7 необходимо поехать в объезд или даже вернуться на несколько отрезков назад и т. д. Благодаря таким превратностям судьбы , игрок, у которого все время выпадают счастливые пятерки и шестерки, может даже оказаться позади менее удачливого на первый взгляд товарища по игре. [c.18] Отсюда и название тише едешь, дальше будешь . Как и во всякой игре, в ней заключена некоторая житейская мудрость. Часто бывает, что тот, кто излишне торопится, проигрывает более медлительному, но действующему разумно и осмотрительно. Но вернемся к игре. [c.19] Каждое бросание кубика игроком есть своеобразное испытание везения. В теории вероятностей это так и называется испытанием (или опытом). Обратите внимание, что в общежитейском толковании это понятие имеет несколько иной смысл. В результате каждого испытания происходит случайное событие, заключающееся здесь в выпадении определенной грани кубика к связанном с этим перемещении на определенное число отрезков. Положение фишки каждого игрока на трассе мы будем называть состоянием. [c.19] Здесь нам придется сделать некоторые разъяснения и для этого обратиться к другой весьма распространенной игре — картам. Только мы будем заниматься не собственно игрой, а воспользуемся картами лишь потому, что это хорошо известный всем объект, очень удобный для демонстрации некоторых важных понятий теории вероятностей. Не случайно поэтому, что именно с таких игр, как кости и карты, началась история этой интереснейшей науки, и практически любой учебник по теории вероятностей начинается с примеров, в которых используются либо игральные кости, либо карты. [c.20] Я взял со стола, как теперь помню, червонного туза и бросил кверху дыхание у всех остановилось, все глаза, выражая страх и какое-то неопределенное любопытство, бегали от пистолета к роковому тузу, который, трепеща на воздухе, опускался медленно в ту же минуту, как он коснулся стола, Вулич спустил курок... осечка . [c.20] Введем теперь событие В, заключающееся в появлении карты той же масти при вторичном ее извлечении из колоды. Очевидно, если после каждого опыта очередную карту класть в колоду и хорошо перемешивать, вероятность события В не будет зависеть от предшествующего опыта, т. е. Р(А) = Р(В) =0,25. [c.22] Теперь изменим условия опыта — вытащив карту определенной масти, отложим ее в сторону. Воспроизведем далее событие В. Теперь его вероятность уже будет зависеть от того, карта какой масти была извлечена первой. Если была вытащена карта той же масти. [c.22] Это означает, что в данном случае вероятности событий зависят друг от друга, и такие опыты (испытания) в теории вероятностей называются зависимыми. При этом вероятность события В будет называться условной по отношению к событию у4. Кроме того, так же, как и в предыдущем примере, мы можем заметить и здесь последовательную (дискретную) смену состояний. Только состоянием теперь уже будет количество в колоде карт той или иной масти после каждого извлечения карты. Конечно, получается, что и в этом случае вероятность перехода в каждое последующее состояние непосредственно связана с предшествующим состоянием. [c.22] Учтем теперь возможность случайных мелких и крупных поломок в пути. Будем при этом считать, что служба технической помощи на дороге функционирует безукоризненно, все поломки немедленно устраняются, и каждый автотурист обязательно доедет до конца пути. Будем фиксировать состояние машины в момент поломки. Очевидно, временной интервал между остановками будет случайным. Что кё общего и в чем разница рассмотренных выше процессов Общими здесь будут два факта случайная смена состояний и вероятностная связь между предшествующим и последующим состояниями. Очевидно, как и раньше, мы наблюдаем зависимость между случайной сменой состояний и временем. Такая зависимость называется случайным процессом. Заметим сразу же, что смена состояний может происходить и при изменении какой-то другой величины. Например, в первых двух случаях мы имели дело с номером этапа, могут быть и какие-либо другие параметры. Если смена состояний наступает через строго определенные фиксированные промежутки времени, то такой процесс называют случайным процессом с дискретным временем, или случайной последовательностью. Это мы наблюдали и в игре тише едешь, дальше будешь , и в картах, и даже при первом абсолютно надежном варианте автотуризма. В другом же, более близком к реальности варианте, когда смена состояний происходит в случайные моменты времени, можно полагать, что случайный процесс протекает при непрерывном времени. [c.24] А что будет, если временные отрезки между переходами из состояния в состояние не подчиняются показательному закону, хотя марковское свойство сохраняется Так чаще всего и бывает, ведь реальные явления в жизни далеко не всегда подчиняются удобным для нас законам. Оказывается, и такие явления можно моделировать с помощью теории марковских случайных процессов, но теперь их называют уже полумарковскими. Картину полумарков-ского процесса можно наглядно представить снова с помощью той же игры тише едешь, дальше будешь следующим образом. Раньше, чтобы узнать, на сколько шагов нам можно переместиться в игре, мы бросали кубик один раз. Это и был своеобразный розыгрыш состояния. Теперь же в полу марковском процессе после розыгрыша состояния надо бросить кубик еще раз, чтобы определить, сколько же времени мы пробудем в этом состоянии. Это будет теперь розыгрышем времени пребывания в состоянии. Конечно, в случае полумарковского процесса математический аппарат усложняется, но зато моделируется более широкий класс явлений. Вспомним еще одно важное обстоятельство. Все приведенные выше примеры относились к марковским случайным процессам, с прерывистыми (дискретными) состояниями. Но всегда ли это так Конечно, нет. Если вернуться к нашему примеру с автотуристами, то изменение скорости каждого автомобиля будет случайной, непрерывно изменяющейся величиной. Изобразим на рис. 3 зависимость скорости нескольких автомобилей от времени на отрезке пути, где нет ограничений в скорости. Очевидно, для каждого водителя (автомобиля) она окажется разной из-за отклонений в регулировке спидометра, искусства водителя, дорожных условий и т. д., хотя и будет колебаться около какого-то среднего значения, например 90 км/ч. Каждый отдельно взятый график скорости какого-то автомобиля — как бы отдельное волокно из пряди — называется реализацией случайного процесса. [c.27] Случайным процессам с непрерывными состояниями также может быть присуще марковское свойство. Оно помогает существенно упростить математический аппарат и решать сложные теоретические и практические задачи. Но это уже выходит за рамки нашего рассказа. [c.27] В заключение надо сказать, что само понятие случайный процесс появилось в науке сравнительно недавно. Если считать, что возраст теории вероятностей составляет сейчас примерно три с половиной столетия, то теории случайных процессов всего лищь полвека Появление и исследование случайных процессов было вызвано необходимостью описания процессов, в которых случайные величины изменяются во времени — динамикой случайных величин. С помощью таких моделей было рещено множество важных научных и практических задач. [c.30] Но ведь побеждал Джим Смайли не случайно. Судя по рассказу, он обладал терпением, наблюдательностью и вниманием, что позволяло ему предвидеть результаты многих случайных явлений. Мы так подробно на этом остановились, потому что хотим использовать забавных персонажей М. Твена для дальнейшего рассказа о цепях Маркова. [c.31] Действительно, вскоре после этих слов лягушка оказалась на плавающем листе. [c.31] Во-первых, так как мы применяем теорию вероятностей, должна быть уверенность, что количественные характеристики случайных событий наблюдаются при достаточно больщом числе опытов и незначительно колеблются около какого-то среднего значения (обладают статистической устойчивостью). В дальнейщем мы без нужды не будем это снова оговаривать, так как вся теория вероятностей может применяться только при этом условии. [c.32] Во-вторых, будем считать, что наща лягушка совер-щает свои прыжки (меняет состояние) строго через определенные промежутки времени, например через одну минуту. [c.32] В — лягушка плавает в воде. [c.32] Попадания в любые состояния представляют случайные события, которые мы будем обозначать теми же буквами. [c.32] Теперь запасемся терпением и понаблюдаем за лягушками, чтобы получить некоторую необходимую исходную статистическую информацию. [c.32] После наблюдения оказалось, что примерно четвертую часть прыжков лягушка совершает с кочки в воду и такую же часть — с кочки на лист, а вот оставшуюся половину заменяет солнечными ваннами на кочке. Из воды лягушка половину прыжков совершает на лист, а половину — на кочку. В воде она более минуты не задерживается. И наконец, после минутного пребывания на листе лягушка в /з случаев прыгает в воду, а в /з — на кочку. [c.32] Вернуться к основной статье