ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Эволюция абстрактных понятий в математике Простейшие структуры из "Абстракция в математике и физике" Настоящая часть книги обращена к двум категориям читателей к тем, кто боится математики и считает, что не любит абстракций, и к тем, кто не боится абстракций и любит математику. Таким образом, авторы ничем не ограничивают свою предполагаемую аудиторию. Они надеются избавить от неприязни к абстракциям одних читателей и познакомить всех читателей с некоторыми этапами новейшей истории математики, многие из которых известны только специалистам. Обе цели могут быть достигнуты, если читатель прочтет хотя бы несколько глав (не обязательно подряд). Предоставив читателю эту свободу, авторы чувствуют и себя вправе говорить с ним, варьируя от темы к теме предполагаемый уровень его квалификации. Как правило, чем ближе к концу, тем сложнее рассматриваемые вопросы. Пусть каждый самостоятельно решает, что прочесть, что пропустить. [c.16] Мы не пытаемся внушить читателю робость перед грандиозностью системы абстрактных понятий математики двадцатого века. Наоборот, мы стараемся показать их естественность и внутреннюю простоту. Все известные нам абстрактные понятия служат делу и приносят пользу. Мы не упускали случая это продемонстрировать. Вместе с тем, нельзя было выйти за пределы разумного объема книги и уровня подготовки читателя. Последнее ограничение пришлось в какой-то мере нарушить в заключительных главах в расчете на добрую волю и готовность читателя к сотрудничеству. Нам было жаль пожертвовать этими главами. [c.16] Несколько слов об абстракциях. В общем введении приводится определение абстракции как метода. Применение этого метода в математике выглядит проще и, может быть, прямолинейней, нежели в физике. Не очень уклоняясь от истины, можно сказать, что в математике (в отличие от физики) метод абстракции сводится к созданию и использованию абстрактных понятий. При этом абстрактные понятия в математике и физике очень отличаются друг от друга. Приведем классический пример. Понятие волновой функции в квантовой механике требует для своего усвоения веры, воображения и готовности к сотрудничеству с автором учебника или учителем. Понятие предела требует только осознания роли каждого слова в его определении. [c.16] В настоящей части книги мы будем пользоваться следующим определением. [c.16] Понятие, означающее группу объектов, является абстрактным, если оно описано не поименным перечислением объектов, а указанием их определяющих свойств. [c.17] В силу этого определения одно и то же абстрактное понятие может описывать не одну группу объектов, а много разных групп различной природы. Например, стадо — это группа пасущихся вместе животных (каковы бы ни были их вид и число). Понятие четное число является абстрактным, поскольку оно описывается как число, обладающее свойством делиться без остатка на два, а не перечислением всех четных чисел. Абстрактными являются такие разные понятия, как прямоугольный треугольник, сумма двух чисел, школьник. Абстрактным является число три, поскольку оно обозначает тройку любых объектов. Приведенные примеры показывают, что наряду со сложными существуют и простые, хорошо нам знакомые абстрактные понятия. [c.17] Понятия можно сравнивать по степени абстрактности. Чем более общим является понятие, тем выше оно расположено на иерархической лестнице. Вот простой пример такой цепочки понятий люди, позвоночные, живые существа. Мы увидим, что по мере своего развития математика переходит от менее абстрактных понятий к более абстрактным. Как ни странно, именно этот процесс облегчает ее усвоение. [c.17] Как рождается понятие, и могло ли оно появиться раньше, чем появилось в действительности Возьмем два физические термина энергия и работа . Как физические термины они были придуманы только тогда, когда выяснилось, что в механических процессах увеличение величины, названной энергией системы, равно произведенной работе. Можно привести множество других примеров, показывающих, что в науке жизнеспособные понятия возникают с возникновением новой теории. Они создают язык этой теории. [c.17] Приведем еще один пример понятие группа крови . Оно появилось, когда обнаружилось, что все люди могут быть разбиты на пять групп по свойствам их крови. Эти группы перенумеровали. По группам крови пострадавшего и донора созданная теория определяет, допустимо ли ее переливание. Данный пример не только демонстрирует прикладное значение абстрактных понятий, но и указывает на их классифицирующую способность понятие группа крови выделяет из совокупности всех людей тех, которые имеют, скажем, вторую группу крови. Подобным же образом понятие квадратное уравнение выделяет строго определенную группу уравнений. Зачем нужно такое выделение Существует теория квадратных уравнений, и если мы установили, что данное уравнение сводится к квадратному, то к нему можно применить все выводы теории, например решить его с помощью известной формулы. [c.17] Упомянем еще один предрассудок. Иногда говорят, что математика представляет собой язык. Думается, это ошибочная точка зрения. Вряд ли кто-нибудь приравнивает художественную литературу языку. Считать математику языком столь же нелепо. Другое дело, что существует язык математики. Освоить его нелегко, но все же легче, чем изучить в том или ином объеме математику, не пользуясь ее языком. [c.18] Любой из языков изучить трудно. В каждом из них огромное количество слов, и выучить хотя бы самые нужные нелегко. Да и грамматику сложно выучить. Именно поэтому человек почти неизбежно попадает в какую-нибудь языковую ловушку при попытке выразить свою мысль на чужом языке. [c.18] Язык математики труден по совершенно другой причине. Вы не можете начать изучение его словарного запаса с любого слова, например со слова интеграл . Чтобы объяснить это понятие, необходимо использовать множество других понятий, таких как функция, предел, сумма и т. д. Да и последние в свою очередь нуждаются в определениях. Это создает известные трудности при изучении математики. В настоящей книге мы постарались преодолеть подобные трудности. Рассказывая о той или иной теории, мы сначала объясняем, зачем она нужна, потом говорим о наиболее интересных ее результатах и, наконец, переходим к приложениям теории. Что же узнает читатель, прочтя первую часть книги Он познакомится с некоторыми яркими моментами истории математики, увидит известную логику в ее развитии, поймет, что знакомые ему школьная и, возможно, высшая математика очень отличаются от современной. После прочтения этой книги читателю будет легче оценить назначение и важность различных разделов курса математики в высшей школе он станет видеть в абстрактных понятиях инструменты, позволяющие за короткое время узнать и усвоить многое. Возможно, читателю будет интересно ознакомиться со всей книгой, возможно — с отдельными ее частями. [c.18] Считаем своим долгом предостеречь читателя от возможного заблуждения. Математика практически необъятна. Если сравнить ее с неизученным континентом, то чтение этой книги подобно путешествию по одной из его рек. Не больше Следует также иметь в виду, что наш рассказ о математике доведен до первой половины двадцатого века и почти не затронул второй половины. С примерным содержанием книги можно ознакомиться по оглавлению. [c.18] Между математическими абстракциями и абстракциями языка существует важное различие. Абстрактные понятия в математике, в отличие от языковых абстракций, не допускают различных толкований все люди, знакомые с определением данного понятия, понимают его совершенно одинаково. В языке это, конечно, не так. Многие понятия, в том числе и абстрактные, не нуждаются в определениях, хотя при желании и для них можно подыскать определение. В качестве примера можно рассмотреть слово лошадь . [c.19] Другое важное отличие в математике абстрактные понятия организованы в коллективы или, как их принято называть, структуры. С точки зрения математика каждая структура — это изолированный мир со своей системой аксиом, который можно изучать, игнорируя до поры, до времени его связи с другими структурами. [c.19] Вернуться к основной статье