ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Хорошие и парадоксальные функции из "Абстракция в математике и физике" Такие функции называются разрывными. [c.63] Выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс поразил своих современников, построив пример непрерывной функции, график которой ни в одной точке не имеет касательной. [c.63] Пора заняться хорошими функциями. Речь пойдет о непрерывных функциях. Чтобы понять, что такое непрерывная функция, рассмотрим следуюш ую практическую задачу. [c.64] Как ни удивительно, это определение хорошо согласуется с интуитивно-геометрическим образом непрерывной функции. Возьмем простейшую разрывную функцию, например у х) — О при ж О, у х) — 1 при ж 0. [c.65] Эта функция моделирует работу плохого водопроводного крана, который либо вовсе не пропускает воду (ж 0), либо дает максимальный поток (ж 0). В точке ж = О функция у х) не является непрерывной каким бы малым интервалом мы не окружили точку ж = О, среди значений функции в точках этого интервала будут и нуль, и единица. [c.65] Многие не любят рассуждений и определений, использующих обороты типа для всякого положительного е найдется такое 6, что. .. . Хорошо помню, что при первом знакомстве с этим оборотом я долго не мог понять его смысл, его логическую структуру. Сейчас мне непонятно мое тогдашнее замешательство. [c.65] Позже мы увидим, что как само понятие непрерывной функции, так и многие свойства подобных функций поддаются плодотворным и нетривиальным обобщениям. Например, если функция непрерывна во всех точках некоторого интервала, включая его концы, то найдется точка, в которой функция принимает свое наибольшее на интервале значение. То же, разумеется, относится и к наименьшему значению. [c.65] Она непрерывна во всех точках интервала О ж 1. Тем не менее она принимает на этом интервале сколь угодно большие значения. Причина Рассматриваемая функция не непрерывна в точке ж = О, то есть на левом конце интервала. [c.65] В главе 17 мы познакомимся с некоторыми полезными обобш,ения-ми понятия непрерывности функции. [c.66] Вернуться к основной статье