ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Уравнения сохранения для несжимаемых неньютоновских жидкостей из "Явления переноса" Уравнения неразрывности и движения в той форме, как они получены в разделах 3.1 и 3.2, выражены через координаты х, у, z, компоненты скорости Vy, и компоненты напряжений г У и т. п. Если мы хотим записать эти уравнения в сферических координатах, нужно знать а) соотношения между х, у, z и г, 0, ф б) соотношение между v , Vy, и соответствующими компонента скорости Vr-, Vq, Vff, в) соотношения между Тд. ., Х у и т. д. и Тгй, Тгф и т. п. Переход от прямоугольных координат к сферическим может быть выполнен затем посредством простой, по длительной процедуры прямой подстановки. [c.86] Читателю нет необходимости выполнять указанные операции, поскольку ниже (и везде в книге) приведена запись основных уравнений в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах . [c.86] Здесь уместно только предупредить читателя, что хотя уравнение неразрывности можно легко получить в криволинейных координатах, составляя баланс массы для тонкого слоя, однако этого нельзя сделать при выводе уравнения движения. Вообще, можно сказать, что метод составления баланса для тонкого слоя весьма трудно применить к системам с искривленными линиями тока, поэтому в таких случаях использовать данный метод не рекомендуется. Лучше всегда исходить из общих уравнений, как показано в разделе 3.5. [c.86] Для формулирования гидродинамических задач в случае постоянных плотности и вязкости среды необходимы уравнение неразрывности [(1-а)—(1-в)], уравнение движения [(П-г)—(П-е) (П1-г)— (П1-е) (IV-r)—(IV-e)], а также начальные и граничные условия. На основании этих двух уравнений затем находят распределения давления и скорости. [c.92] Чтобы сформулировать задачи, затрагивающие изотермическое течение с переменной плотностью и вязкостью, наряду с начальными и граничными условиями нужны 1) уравнение неразрывности [(1-а)—(1-в)] 2) уравнение движения [(П-а)—(П-в) (П1-а)—(П1-в) (IV-a)—(IV-b)] совместно с выражениями для компонентов т [(IV-a)— (УП-ж)] 3) уравнение состояния р = р (р) 4) уравнение вязкости ц = ц (р). Из перечисленных четырех соотношений получают распределения скорости, давления, плотности и вязкости для рассматриваемого случая. [c.92] В настоящем разделе показано, как формулировать задачи вязкого течения, упрощая помещенные выше уравнения. Это делается отбрасыванием членов в общих уравнениях, равных нулю (или близких к нулю) в данной ситуации. При выборе членов, которые должны быть исключены, мы опираемся на наши интуитивные представления относительно поведения системы структуры потока, распределения давления и т. п. Одним из преимуществ такой процедуры является то, что к моменту окончания процесса отбрасывания членов автоматически имеется полный список допущений, которые были сделаны. Мы познакомим читателя с этим методом, решив две задачи из главы 2. В дальнейшем ценность данного метода будет проиллюстрирована в процессе решения несколько более сложных примеров. [c.92] Полученный результат в точности соответствует уравнению (2.43). [c.93] Последнее соотношение можно проинтегрировать с граничными условиями = О при X — 8, .р /йх при а = О и получить в результате уравнение (2.25). [c.93] С помощью этих методов может быть сформулировано значительное число других задач. Некоторые дополнительные примеры решения задач установившегося течения приведены ниже несколько задач нестационарного течения решены в главе 4. Многие более строгие решения имеются в распространенных книгах [4, 7]. [c.93] Прнмер 3-1. Тангенциальное течение ньютоновской жидкости в кольцевом канале. Требуется найти распределения скорости и касательного напряжения для тангенциального ламинарного потока несжимаемой жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами, из которых наружный вращается с угловой скоростью (рис. 3-3). Концевыми эффектами можно пренебречь. [c.93] Как только распределение скорости рассчитано, по уравнению (3.41) может быть найдено распределение давления в радиальном направлении. Для обсуждения деталей интегрирования этого уравнения отсылаем читателя к литературе [8]. [c.94] Распределения угловой скорости для указанных двух случаев совершенно подобны в области стабильного ламинарного движения [7]. [c.95] Пример 3-2. Форма поверхности вращающейся жидкости. Жидкость с постоянной плотностью и вязкостью заключена в цилиндрический сосуд радиуса Я (рис. 3-5). Этот сосуд приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью 2. Ось цилиндра расположена вертикально, так что = О и Нужно найти форму свободной поверхности после достижения стационарного состояния. [c.95] Решение. Проще всего такую систему описать в цилиндрических координатах. Поэтому используем уравнения сохранения [(П1-г)—(1П-е)] в этой координатной системе. В стационарном состоянии, как мы знаем, = Ул = О и Уд является функцией только г. Известно также, что давление зависит от г из-за влияния центробежной силы и от 2 вследствие влияния силы тяжести. [c.95] Последнее уравнение означает, что каждый элемент вращающейся жидкости движется как часть твердого тела. Найденный результат может быть подставлен в выражение для г-компонента уравнения движения. [c.96] Найденное соотношение есть уравнение параболы. Читатель может легко проверить, что форма свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде с кольцевым сечением подчиняется подобному же соотношению. [c.97] Пример 3-3. Соотношения для вращающего момента и распределевие скорости в вискозиметре с конусом и пластиной. Основу вискозиметра, схема которого изображена рис. 3-6, составляют неподвижная пластина и перевернутый конус. На. пластину наносится небольшое количество исследуемой жидкости или пасты конус весь погружен в испытуемый материал, так что только его вершина касается пластины. Конус вращается с заданной угловой скоростью Й, и вязкость образца определяется измерением вращающего момента, который требуется для поворота конуса. На практике угол 00 между поверхностями конуса и пластины делают малым, скажем, порядка половины градуса. [c.97] Этот тип прибора имеет некоторые важные достоинства, особенно в случае непьютоновских жидкостей а) существенную роль играет лишь один компонент тензора напряжений б) значение весьма близко к постоянному значению во всей жидкости в) концевые эффекты могут быть почти полностью исключены. [c.97] Проанализируем работу вискозиметра следующим образом 1) покажем, что важен только Т0 -компонент тензора напряжений 2) определим как функцию г и 0 3) используем результаты, полученные в первых двух пунктах, чтобы найти (г, 0) для стационарного течения неньютоновской жидкости при постоянных значениях ц и р — в это выражение будет входить вращающий момент ЛГ 4) получим другое выражение для (г, 0), включающее угловую скорость, а не вращаюпщй момент. [c.97] Решение. 1. Если принять, что течение полностью тангенциальное, то есть функция г и 0 и V = Уе = О- Нетрудно видеть (см. стр. 88 сл.), что единственные компоненты т. [c.97] Вернуться к основной статье