ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Бабенко. Применение дробной производной в задачах нестационарного пиролиза из "Работы по термодинамике и кинетике химических процессов Выпуск 64" При изучении линейного пиролиза возникает задача об определении скорости разложения вещества в нестационарных условиях. Обычный подход к решению такой задачи заключается в следующем. Рассматривается система дифференциальных уравнений и граничных условий, описывающих процесс разложения. При этом находят профили температуры, концентрации н т. д. Удовлетворяя условиям задачи (граничным и начальным), а также дополнительному условию , выбранному из физических соображений, находят скорость разложения как величину, обеспечивающую удовлетворение дополнительного условия . При таком подходе мы получаем слишком подробную информацию (значение температуры й концентрации в каждый момент времени в каждой точке пространства), в то время как требуется найти интегральную характеристику— линейную скорость разложения. Оказывается возможным решить в конечном виде отдельные линеаризированные задачи. Для нелинейных задач требуется применение вычислительных машин. [c.5] В настоящей работе предлагается метод, позволяющий определить нестационарную скорость разложения для существенно нелинейных задач без решения соответствующей краевой задачи. Во многих случаях удовлетворительная точность решения может быть получена без применения вычислительных машин. [c.5] Нам понадобится понятие производной от функции порядка 7г — будем называть ее полупроизводной. Для наших целей достаточно следующее определение. [c.5] Можно привести пример нескольких конкретных операций, удовлетворяющих этому определению. [c.6] Подробный обзор по производной дробного порядка можно найти в сборнике [1]. [c.6] Решение этой задачи обычными методами значительно более трудоемко. См. например [2]. Результат совпадает с формулой (8), если заменить полупроизводную ее определением (1). [c.7] Замечание. Соотношение (8) можно использовать для построения решения задачи (5) вблизи границы а = 0. Зная температуру поверхности и ее градиент из (8), мы можем с помошью исходного уравнения (5) найти все последовательные производные от температуры по координате х, а следовательно, построить решение в виде ряда Тейлора по степеням х. [c.7] Выражения (9) —(12)— обычная задача для нахождения Т(х, t) при заданных 7 (1) и u t). Дополнительное условие (13), однозначно связывающее мгновенные значения скорости разложения, температуру поверхности и градиент, представляет из себя независимую физическую гипотезу. (Пример см. нйже). [c.8] Замечание. Пределы интегрирования определяются из условия равенства нулю Т и Т при х- оо. [c.8] Вопросы, связанные со сходимостью ряда (15) (т. е. вопрос о существовании обратного оператора), мы здесь не рассматриваем, так как конечные результаты могут быть проверены известными м етодами. [c.8] Это основное выражение, которое мы будем Использовать в данной задаче. Иногда удобнее другие формы записи этого соотношения. [c.8] Поэтому выбирая коэффициенты Сь Сг,. .., можно добиться, чтобы выражения (17), (19) и (25) удовлетворялись при =0. [c.10] Это и есть решение задачи. [c.10] В случае необходимости уточнения конечного результата следует произвести потребное число итераций с использованием отброшенных членов. (25). [c.10] Замечание. Анализируя (37), можно видеть, что скорость нигде не превышает стационарного значения. Это связано с видом гипотезы (34). Для гипотез типа onst, напротив, превышение стационарной скорости имеет место, что следует из рассмотрения выражения (25). [c.12] Примем следующие численные значения для параметров 0=600° К, // =22300 град. Л = 1,2-10 2 град сек. В = 6 град см. (Этим значениям соответствует стационарная скорость разложения и= см1сек). Оценка по формулам (31) и (32) показывает, что величина отброшенных членов не превышает 20% от основных членов в интервале Q t 2- 10 сек и 1,5- Ю- сек 1 оо. В интервале 2-10 eK t l,5- 10 сек, точность формулы (37) может оказаться недостаточной. Однако здесь был рассмотрен крайне неблагоприятный случай — скачок температуры поверхности в 600° К- при наличии сильной Аррениусовской зависимости от температуры. [c.12] Если pa iiotpetb скачок в 60 грйд от 54 К до 600 К оказывается, что отброшенные члены не превышают 20% от основных во всем интервале 0 i tx), т. е. в этом случае может быть непосредственно использована формула (37). Заметим, что при использовании линеаризированной теории переходного процесса мы можем получить такую точность лишь для скачков температуры порядка 3 град. [c.13] Подставляя уравнение (40) в (35), получим зависимость и (i). Для той же системы параметров, что и в примере 1, при в=600° К, = 60 град, отброшенные члены не превышают 20% от основных при частотах (о 1000 1/сек. Если =30°, точность пренебрежения менее 10% во всем интервале частот. Отметим, что конечный результат может иметь более высокую точность, нежели оцененную по формулам (31) и (32) за счет знакопеременности ряда (25). При использовании метода ма-- лых возмущений указанная точность достигается при -3° в области средних частот, а для и О и w- - при гораздо меньших амплитудах. [c.13] Замечание. Погрешность при выводе (45) такого же порядка, как и при выводе выражения (26), так как дополнительный член в (45) получен с гораздо меньшей погрешностью, чем а У а. Это связано с тем обстоятельством, что функция ехр (— / 7) гораздо быстрее убывает при х- оо, чем 7 , и дает меньший вклад в поправочные члены (см. (19)]. [c.14] Вернуться к основной статье