ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Число стационарных состояний неизотермических реакторов непрерывного действия из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Рассмотрим некоторые способы исследования стационарных состояний реакторов, а затем устойчивости в малом математических моделей, составленных в предыдущей главе. [c.55] Очевидно, что число стационарных состояний исследуемого реактора равно числу решений системы уравнений (П1,2). [c.55] К сожалению, чаще всего не удается найти аналитического решения уравнений (П1,2) и, чтобы узнать, сколько стационарных состояний имеет реактор, в некоторых случаях приходится прибегать к различным геометрическим построениям. Эти построения позволяют не только определить число стационарных состояний, но и выяснить, как оно меняется при изменении значений параметров. Благодаря этому геометрические построения представляют интерес и в тех сравнительно редких случаях когда можно найти аналитическое решение уравнений (П1,2). [c.55] Физический смысл имеют только положительные значения х и у, поэтому построим ветви главных изоклин, расположенные в 1-й четверти фазовой плоскости (рис. П1-1). [c.56] Таким образом, построение главных изоклин показывает, что исследуемый реактор обладает одним или тремя стационарными состояниями. [c.57] Для отыскания стационарных состояний исследуемой системы необходимо построить графики этих функций и найти точки их пересечения. Выполним эту процедуру для рассматриваемого реактора. [c.57] Графики функций Ql y) и Q2(г/) приведены на рис. 111-2. Асимптотой кривой Ql(г/) являет я горизонтальная прямая, расположенная на расстоянии 1хо1 1 + Х) от начала координат. Взаимное расположение кривых, показанное на рис. 111-2, отвечает наличию у реактора трех стационарных состояний. [c.57] Существуют и другие, свободные от указанных ограничений способы замены главных изоклин системой кривых, более удобной для исследования. Вот один из таких способов. [c.58] которые назовем исходными. Предлагаемый способ заключается в замене одного из них уравнением эквивалентной кривой, представляющим собой их комбинацию. [c.58] На рис. 1П-3 изображено взаимное расположение этой прямой и кривой Р(х, у)=0, наблюдающееся при наличии трех стационарных состояний. [c.58] Бифуркационная диаграмма. Определение числа стационарных состояний и влияния значений параметров на это число иногда заметно облегчается благодаря использованию так называемой бифуркационной диаграммы — кривой, связывающей значение какого-нибудь из параметров с координатой стационарного состояния. . [c.58] Один из способов построения бифуркационной диаграммы для рассматриваемой системы заключается в следующем. [c.58] Точки D и F называют точками бифуркации, а соответствующие им значения параметра уо иг/о — бифуркационными значениями. [c.59] Определив тем или иным способом число, а если удастся, то и координаты стационарных состояний, следует приступить к исследованию их типа и устойчивости при помощи методики, изложенной в главе I. [c.59] В некоторых случаях устойчивость стационарных состояний можно определить по диаграммам отвода и подвода тепла. Пользуясь подобными диаграммами, Н. Н. Семенов в свое время сформулировал условия теплового воспламенения, заложив тем самым основы теории теплового взрыва [1]. Много лет спустя ван Хир-ден [2] применил тот же подход для анализа устойчивости режимов автотермических реакторов. [c.59] Сущность этого метода рассмотрим на примере диаграммы подвода и отвода тёпла в реакторе непрерывного действия (см. рис. 111-2). Стационарные состояния, обозначенные на рисунке буквами А, С, В. соответствуют таким значениям у, т. е. таким температурам, при которых скорость тепловыделения Ql y) равна скорости теплоотвода Q2(y). [c.60] Пользуясь этим правилом, легко определить, что стационарные состояния А н В устойчивы, а стационарное состояние С неустойчиво. [c.60] Однако, этот простой, и, казалось бы, очевидный анализ устойчивости не всегда приводит к правильным результатам. Как будет показано ниже (с. 97), если реактор непрерывного действия обладает тремя положениями равновесия, то среднее из них — С всегда является седлом, т. е. неустойчиво, а положения равновесия А п В могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Этот пример показывает, что анализ диаграммы подвода и отвода тепла в общем случае не решает вопроса об устойчивости режимов химического реактора. [c.60] В заключение приведем теорему Пуанкаре, относящуюся к системам, описываемым уравнениями (И1,1) [3, с. 238]. [c.60] Согласно этой теореме, на любой из главных изоклин системы, имеющей только простые положения равновесия, чередуются положения равновесия, для которых Л 0 (сёдла), с положениями равновесия, для которых А 0 (уз уз1 или фокусы). Теорема Пуанкаре справедлива, если изоклина Р(х, у) = 0 или Q(x, г/)=0 не имеет особых точек, т. е. таких точек, в которых одновременно равны нулю обе частные производные дР1дх и дР1ду (или соответственно дQ дx и дQ дy). [c.60] Вернуться к основной статье