ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Фазовые траектории в удаленных частях фазовой плоскости из "Устойчивость режимов работы химических реакторов" Чтобы построить фазовый портрет динамической системы, необходимо определить взаимное расположение не всех фазовых траекторий (что практически невозможно и совсем не нужно), а только некоторого конечного числа так называемых особых траекторий. [c.107] К особым фазовым траекториям динамической системы второго порядка относятся положения равновесия, сепаратрисы седел и изолированные замкнутые фазовые траектории, называемые предельными циклами. Если на предельный цикл изнутри и снаружи наматываются фазовые траектории, то он является устойчивым и изображает автоколебания (более подробно о предельных циклах и автоколебаниях см. ниже). [c.107] Особые траектории разделяют всю фазовую плоскость на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями, характер поведения которых одинаков. Каждая ячейка грубой динамической системы содержит элемент притяжения — устойчивый узел (фокус) или устойчивый предельный цикл, к которому стремятся все фазовые траектории, заключенные в данной ячейке. Иными словами, каждая ячейка является областью притяжения или областью устойчивости в большом (в общем случае частью такой области) для какого-либо положения равновесия или предельного цикла. [c.107] Выяснив, на какие ячейки разделена фазовая плоскость системы и как эти ячейки расположены друг относительно друга, мы можем считать известным ее фазовый портрет. При этом, чтобы выяснить характер поведения фазовых траекторий, полезно, а иногда необходимо, узнать, как они ведут себя при неограниченно увеличивающихся значениях л и г/. [c.107] Отображение фазовой плоскости на сферу Пуанкаре. Для исследования поведения фазовых траекторий при неограниченно возрастающих значениях х я у, г. е. в бесконечности, обычно используют отображение на сферу Пуанкаре. [c.107] Сфера Пуанкаре представляет собой сферу единичного радиуса (рис. IV- ), которая, находясь над фазовой плоскостью х, у, касается ее в начале координат (точка касания является южным полюсом). [c.107] Сфера Пуанкаре. [c.108] Исследование характера и устойчивости найденных положений равновесия выполняется обычными методами (см. главу I). [c.109] Нетрудно убедиться, что с помощью преобразования (IV, 1) можно исследовать все бесконечно удаленные точки плоскости X, у, кроме концов оси х. Для исследования концов оси х используется другое преобразование, аналогичное операции (IV,2). [c.109] Если это свойство сохраняется при неограниченном увеличении размеров замкнутой кривой и охватываемой ею области, то в первом случае бесконечность будет устойчива, во втором случае — неустойчива. [c.110] начиная с достаточно больших значений х, у (а следовательно, и г), R x, у)аО, то бесконечность устойчива, если же R x, у) 0, то бесконечность неустойчива. [c.110] Вернуться к основной статье