ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Группысимметрии из "Дифракционный и резонансный структурный анализ" В отличие от суммы преобразований, произведение преобразований симметрии в общем случае некоммутативно S Sx =5 SiS . Отметим, что произведение и сумма двух трансляций представляют эквивалентные операции симметрии. [c.45] Трансляция представляет собой преобразование симметрии бесконечного порядка. [c.46] Оси симметрии могут быть полярными и неполярными. Покажем это на примерах осей симметрии второго порядка правильных п-угольников с четным и нечетным числом сторон. Четные многоугольники обладают, а нечетные не обладают центром симметрии. Поэтому оси симметрии нечетных многоугольников имеют ясно выраженную полярность, задаваемую направлением середина стороны — вершина (рис. II.7, а).Четные многоугольники имеют две группы осей симмерии С , Одни — типа вершина — вершина проходят через диаметрально противоположные вершины, а другие — типа середина — середина — через середины противоположных сторон многоугольника (рис. II.7, а). И те и другие оси пересекают центр симметрии, имеющийся во всяком четном правильном и-угольнике. Инверсия делает любую ось, проходящую через центр симметрии (включая ось перпендикулярную к плоскости /г-угольника), двусторонней, т. е. неполярной. [c.47] Рассмотрим возможную причину полярности оси на атомном уровне. На рис. II, 7, б для двух кубических кристаллов с алмазоподобными структурами сфалерита (а-2п8) и алмаза — показано расположение атомов. . . 2п—3. . . 2п—3. .. и соответственно. . . С—С. . . С—С. . . вдоль телесных диагоналей элементарной ячейки, являющихся осями симметрии третьего порядка Сд. Как показывает расположение атомов, в сфалерите эти оси по-лярны, а в алмазе неполярны. [c.48] На рис. II.8 показаны части бесконечных однократно-перио-дических структур (бордюров). Бордюр в виде непрерывной цепочки бегущих фигур (рис. II.8,й) обладает только трансляционной симметрией. Здесь нет особых точек симметрии, в которые можно было бы поместить начало одномерной решетки. В этом отношении все точки бордюра эквивалентны. На рис. II.8 б, изображена непрерывная гармоническая кривая, периодичность которой указывают особые точки вершины, впадины и два семейства пулевых значений функции, различающиеся знаком производной. Гармоническая кривая, помимо трансляционной симметрии, имеет еще два семейства центров симметрии и два семейства зеркальных линий отражений, отмеченных стрелками, направленными соответственно вверх и вниз. Такой же симметрией обладает непрерывная кривая (рис. И.8,в), показывающая периодическое изменение прозрачности одномерной дифракционной решетки. Ири наличии (помимо трансляцил) дополнительных элементов симметрии начало трансляции удобно поместить в одном из них, что позволяет подразделить элементарную ячейку на эквивалентные области. Операции отражения, инверсии и трансляции позволяют получить из области ячейки, равной в случаях рис. II.7, б и в 1/4 периода, всю неограниченную гребенку или синусоиду. [c.48] Еще более высокую степень вырождения симметрии имеет шар (по Платону, — самое совершенное тело). Шар допускает все преобразования симметрии, за исключением преобразований, содержащих трансляции. Шаровую симметрию имеет поле точечного заряда. [c.49] Трехмерное пространство Евклида гомогенно, непрерывно, изотропно и бесконечно. В нем нет ни особых точек, а при отсутствии в нем тел — ни меток, ни реперов. Пространство Евклида совмещается само с собою при любых преобразованиях симметрии отражениях в любых плоскостях симметрии, поворотах около любых прямых на любые углы, при трансляциях по любому направлению на отрезки любой длины, включая бесконечно малые переносы. Симметрия пространства Евклида полностью вырождена. Каждая точка пространства Евклида обладает симметрией шара. Сплошная упругая, изотропная среда (например, плексиглас) является примером физического пространства с вырожденной симметрией. Поле ориентированных механических напряжений делает такую среду анизотропной и снимает вырождение. В неоднородном поле напряжений (изгиб, кручение) характер и степень анизотропии меняются от точки к точке. В однородном поле (растяжение, сдвиг) они одинаковы во всех точках среды, симметрия которой в этом случае определяется ее симметрией в одной точке. [c.49] Группы симметрии, содержащие трансляции и их сочетания с другими преобразованиями симметрии, описывают симметрию бесконечных периодических пространств и называются простран-гтвенными (федоровскими) группами. В пространственной группе G выделим подгруппу трансляций [Gt и подгруппу вращений G/. [c.50] Подгруппа вращений включает собственно повороты — я, отражения Р — т и их сочетания с трансляциями (винтовые оси С п и плоскости скользящего отражения а, Ь, с, п). [c.50] Плоские сетки из а) параллелограммов (моноклинная), б) прямоугольников (ромбическая), в) квадратов (тетрагональная), г) правильных треугольников и шестиугольников (тригональная и гексагональная). [c.50] Трансляции размножают элементы симметрии в бесконечные периодические семейства эквивалентных элементов (рис. II.9) и подразделяют бесконечное трехмерное пространство на идентичные, параллельно расположенные и примыкающие друг к другу элементарные области (ячейки), имеющие форму параллелепипедов. Для описания пространственной группы достаточно указать элементы симметрии в одной элементарной ячейке. [c.50] Вернуться к основной статье