ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые основные понятия и теоремы теории групп из "Курс квантовой химии" Группа О может содержать конечное или бесконечное число элементов. Число элементов т группы называется ее порядком. Если т конечно, группа называется конечной, если т=оо— бесконечной. [c.68] Пример 1. Множество целых чисел составит группу, если под групповой операцией умножения понимать обычное алгебраическое сложение. Требование к свойству умножения в данном случае выполняется, так как сумма двух целых чисел есть целое число. Свойство 1 тоже выполняется, так как действие суммирования ассоциативно. Единичным элементом в этой группе является ноль, обратным к данному числу а.— число —а. Эта группа бесконечна. [c.68] Группа О называется коммутативной, если fg=gf для любых элементов I и д из О. Группы, рассмотренные в примерах 1 и 2, коммутативны. Вообще говоря, групповое действие умножения может быть и не коммутативно, т. е. [c.69] Подгруппой называется всякое подмножество группы, если оно, в свою очередь, является группой относительно того же группового действия. [c.70] Пример 4. У правильной пирамиды (см. пример 3) имеются ось и плоскости симметрии. Совокупность операций, соответствующая этим элементам симметрии, составляет группу. Это можно проверить посредством такого же анализа, как в примере 2. [c.70] В группе симметрии правильной пирамиды можно выделить подгруппы. Например, все повороты вокруг оси составляют подгруппу. [c.70] Рассмотрим элементы д и Ь из О. Элемент g называется сопряженным с элементом Н, если Н=ада , где а — элемент из О. [c.70] Можно доказать следующие утверждения. [c.70] Возьмем какой-либо элемент д и построим все сопряженные с ним элементы hi = aiga — , используя в качестве а,- все элементы группы. При этом, вообще говоря, набор не включает все элементы группы. Все сопряженные друг с другом элементы составляют так называемый класс сопряженных элементов. [c.70] Пример 5. Квадрат на плоскости имеет ось симметрии С4, и совокупность преобразований симметрии составляет группу. Операция С4 переводит точку А в точку В, точку В — в точку В и т. д. С другой стороны, каждай точка на плоскости характеризуется двумя координатами Х1 и Хг (рис. 6). [c.71] Чтобы в этом убедиться, необходимо положить, например, сторону квадрата равной 2Ь, отметить координаты точек в системе координат Хь yi и рассчитать, как они преобразуются друг в друга с помощью коэффициентов (IV, 2). [c.71] Произведение двух матриц есть матрица, описывающая преобразование вида (IV, 1), при котором точки должны попадать в вершины одного и того же квадрата. [c.72] Все сказанное о матрицах преобразования подводит нас ж выводу о том, что совокупность ЭТИХ матриц составляет группу. Обозначим ее А. [c.72] О и А(дг) из А соответствует g2 из О, то A(gl)A(g2) соответствует glg2. Например, произведению 404 = 042 соответствует произведение А(С4)А(С4) =А(С4 ). Таким образом, группа А изоморфна группе О. [c.72] Вернуться к основной статье