ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Определение и общие свойства расширения экстремальных задач из "Вариационные методы расчета химических аппаратов" Множество допустимых решений представляет собой полуинтервал, правая граница которого (точка у=1) не принадлежит D поэтому максимальное значение / на Z) не достигается. Однако на любой монотонно возрастающей последовательности Уг , предел которой равен единице, значения 1 уг) растут и стремятся к 2, В данной задаче, таким образом, критерий ограничен, множество D не пусто, но решения, соответствующего максимуму /, не существует. [c.14] В задаче (1.2) М=2, так как любое меньшее число не отвечает неравенству (1.3), а любое большее число не является минимальным. Для верхней грани введено специальное обозначение sup в данном примере sup 1(у)=2. Очевидно, что в случае, когда задача имеет решение, максимум и верхняя грань критерия оптимальности совпадают. [c.14] Способы расширения экстремальных задач давно и эффективно используют. Попытаемся дать определение расширения в такой форме, чтобы с единой точки зрения охватить разнообразные сферы его использования. Выделение общих свойств расширения и выявление связей между разными типами расширений полезны для решения многих задач. [c.14] Все изоморфные задаче А, а значит, и одна другой задачи будем-объединять в класс А. [c.15] Расширение называют параметрическим, если в задаче В критерий оптимальности, либо условия, определяющие Db, либо и то, и другое зависят от некоторого параметра A таким образом, что при любом значении X Vx выполнены условия (1.5). [c.15] Параметрическое расширение эквивалентно, если равенство (1.6) выполнено хотя бы для одного a Vx. Неэквивалентное расширение эффективно. [c.15] Прокомментируем эти определения. [c.16] Понятие изоморфности используют для характеристики объектов, с некоторой точки зрения тождественных один другому. В данном случае изоморфные задачи, различные по форме записи и физическому смыслу, взаимно тождественны с точки зрения оптимального решения. Ясно, что любая задача изоморфна самой себе. То, что в определении расширения фигурирует множество допустимых решений не обязательно задачи А, л любой из задач, ей изоморфных, позволяет строить расширенные задачи на множествах Ъв, элементы которых имеют другую дрироду по сравнению с элементами множества В а. [c.16] Отметим, что в определение эквивалентности входят верхние грани соответствующих критериев, а не их максимумы, поэтому оно справедливо и в том случае, когда одна из упомянутых 5В нем задач или обе эти задачи имеют решение в форме максимизирующих последовательностей. [c.16] Основные свойства расширения следующие. [c.16] Здесь у. Я, —значения переменных, при которых Д —0. При этом у является решением исходной задачи или некоторой задачи из класса А. [c.16] Приведенные утверждения следуют непосредственно из определения расширения и не требуют доказательства. Прокомментируем некоторые из них. [c.17] Свойство 3 позволяет выразить необходимые условия опти мальности исходной задачи через необходимые условия опти мальности расширенной задачи, предварительно доказав эквивалентность расширения. Из леммы Кротова вытекает, что для нахождения решения исходной задачи достаточно построить такую расширенную задачу, решение оторой оказалось бы допустимым для некоторой задачи из А. Наконец, условие 5 вс многих случаях позволяет доказать эквивалентность расширения. [c.17] Введем важный класс экстремальных задач, для которых условие эквивалентности расширения может быть ослаблено. [c.17] Для большинства экстремальных задач, за исключением задачи построения математических моделей по данным эксперимента, целью решения является максимизация критерия эффективности. При этом технический смысл имеют только задачи, корректные относительно значения, так как мы всегда имеем дело лишь с более или менее приближенной моделью реальной ситуации. В связи с этим, записывая условие в форме (1.10), например, следует считаться с тем, что оно реально имеет вид (1.11). Лишь малое влияние на эффективность решения перехода от (1.10) к (1.11) гарантирует применимость результата решения. Для дальнейшего важно и то, что допущение о корректности в указанном выше смысле позволяет существенно ослабить условия эквивалентности экстремальной задачи. [c.18] Введем множество Об, отличающееся от множества D тем, что каждое из условий, определяющих D, может быть нарушено не более, чем на o, т. е. условие (1.10), например, заменено условием (1.11). Задача Ле, критерий оптимальности которой на множестве D равен /а, представляет собой расширение для задачи Л, так как удовлетворяет условиям (1.5). Будем называть этот вид расширения 0-расширением. [c.18] Утверждение для задач, корректных относительно значения, расширение В эквивалентно задаче Л, если оно эквивалентна ее б-расширению при любом сколь угодно малом б. [c.18] Связь необходимых условий оптимальности исходной и рас-ширенной задач. Выше указано, что необходимые условия оптимальности задачи Л можно выразить через условия оптимальности ее эквивалентного расширения. В ряде случаев, однако, требование эквивалентности можно ослабить, пользуясь тем обстоятельством, что необходимые условия оптимальности выделяют, как правило, решения лучшие или во всяком случае не худшие, чем решения, к ним в каком-то смысле близкие. Напомним логику получения необходимых условий оптимальности. [c.18] Для задачи (г/ ) построим расширение по тому же правилу, что и расширение В для задачи А. Получим задачу Вь(у )-. [c.19] Множество Lb включает элемент г/ или соответствующий ему в силу изоморфизма элемент Dj. Задача 5х,(г/ ) является локализацией задачи В в окрестности у°. Назовем задачу В локально-эквивалентным расширением для А, если для любого У° Оа задача Вь у°) является эквивалентным расширением для Лх,(г/°). [c.19] Вернуться к основной статье