ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Получение характеристических функций для моделей с распределенными параметрами из "Динамика процессов химической технологии" В конце раздела 2.2. уже был приведен простой пример отыскания весовой и передаточной функций объекта, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Теперь будут изложены основные способы определения весовой, переходной и передаточной функции линейных объектов с сосредоточенными параметрами, математическая модель которых включает только обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим общий случай, когда коэффициенты уравнений являются произвольными функциями времени, т. е. объект не является стационарным. [c.82] Нетрудно убедиться, что дифференцируя (3.1.8) по т получим —G(t, т) в согласии с общей формулой (2.2.68). [c.84] Для операторов, задаваемых уравнением (3.1.1) при п 1, получить явные выражения для G t, т) и Н t, т), аналогичные формулам (3.1.7) и (3.1.8), уже не удается. Все, что можно сделать,— это получить линейное однородное уравнение для весовой функции G t,x). [c.84] Аналогичные выражения для g t) можно получить в том случае, когда характеристическое уравнение имеет несколько кратных корней (см. [4]). [c.87] весовые функции операторов Л], Л2 известны. Осталось установить правило, по которому из весовых функций сомножителей можно определить весовую функцию произведения операторов. [c.87] Формула (3.1.24) дает решение задачи о нахождении весовой функции оператора, задаваемого с помощью уравнения (3.1.1) с нулевыми начальными условиями. Проиллюстрируем изложенную схему определения весовой функции произведения операторов иа простом примере. [c.88] Оператор А и 1) о(1), задаваемый с помощью уравнения (3.1.25) с нулевым начальным условием V (1) ( о = можно представить в виде произведения А = А2А1. [c.88] Таким образом, параметрическая передаточная функция F(i,p) является решением уравнения (3.1.31). Это уравнение аналогично уравнению (3.1.15) для определения весовой функции оператора Ла, задаваемого с помощью уравнения (3.1.11). Уравнение для параметрической передаточной функции оператора получится из (3.1.31) подстановкой 4 (i, р) = 1. [c.90] При достаточно медленном изменении коэффициентов уравнения (3.1.1) во времени ряд (3.1.38) быстро сходится, и с достаточной степенью точности можно представить параметрическую передаточную функцию в виде суммы нескольких первых его членов. [c.91] Формула (3.1.42) очень удобна для вычисления реакций стационарного объекта на различные входные воздействия u t). [c.91] Передаточная функция стационарного объекта, описываемого уравнением (3 1.1), является дробно-рациональной функцией вида (3.1.35). Поскольку для дробно-рациональных функций переход к оригиналам осуществляется весьма просто, выражение (3.1.35) часто используют для определения весовой и переходной функций стационарного объекта. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для определения весовой функции g(t) требуется применить обратное преобразование Лапласа к функции W p), а для определения переходной функции h(t) — K функции W p)/p. Необходимо разложить дробно-рациональные функции W (р) и р)/р на простейшие дроби и осуществить переход к оригиналам в каждом слагаемом. [c.92] Нетрудно убедиться, что в данном случае выполнено общее соотношение g t) = dh t)/dt. [c.93] Для реальных химико-технологических систем всегда выполнено условие Ра О (A = 1, 2,. .., п), поэтому из (3.1.47) получаем lim h(t) = bo/ao. [c.93] Как И В одномерном случае, передаточные функции стационарного объекта имеют дробно-рациональный вид. Отметим одну характерную особенность передаточных функций объекта, описываемого многомерным функциональным оператором. Передаточная функция стационарного объекта, описываемого одним уравнением вида (3.1.1) с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональное выражение (3.1.35), в числителе которого стоит многочлен порядка т, где т — наивысший порядок дифференцирования в правой части уравнения (3.1.1). В том случае, когда в правую часть (3.1.1) входит только функция u t), а не ее производные, этот многочлен вырождается в константу, и передаточная функция принимает вид (3.1.45). В многомерном случае, когда объект имеет по несколько входных и выходных параметров, все передаточные функции также являются дробно-рациональными. Однако порядок многочлена, стоящего в числителе этих дробно рациональных функций, отличен от нуля даже тогда, когда в уравнения входят только параметры Ui i) и не входят их производные. [c.96] Полиномы Фг/(р) представляют собой определители, получающиеся из (3,1.53) заменой /-го столбца на столбец коэффициентов при 1-м входном параметре, т. е. [c.96] После того как определены передаточные функции объекта, их можно при необходимости использовать для нахождения весовых и переходных функций по формулам (2.2.87). Для этого нужно разложить дробно-рациональные функции ц р) и ц р)/р на простейшие дроби и перейти от изображений к оригиналам. Наибольшие затруднения возникают при отыскании корней полинома Ф(р), стоящего в знаменателе дробно-рациональной функции H i (p), поскольку этот полином обычно имеет большой порядок. [c.96] Для операторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, весовая и параметрическая передаточная функции являются равноценными характеристиками, причем способы их нахождения весьма похожи. Чтобы найти весовую или параметрическую передаточную функцию оператора, задаваемого общим уравнением (3.1.1), необходимо решать либо уравнение (3.1.15) с начальными условиями (3.1.16), либо уравнение (3.1.31). Эти уравнения имеют одинаковую структуру и в каждом конкретном случае можно определить, какую из функций G i, т) или F i, р) проще искать. Некоторое различие в процедурах нахождения характеристических функций появляется только для стационарных объектов. В этом случае для нахождения весовой функции по-прежнему необходимо решать дифференциальное уравнение (3.1.17), в то время как для отыскания передаточной функции используется тривиальное алгебраическое уравнение (3.1.34), решение которого (3.1.35) имеет очень простой вид. [c.97] При исследовании динамики стационарных объектов с распределенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, различие между методами нахождения весовой и передаточной функций становится более заметным. [c.97] В полученном уравнении член пз( )б( —т) можно исключить, если рассматривать б-функцию как результат дифференцирования скачка функции v x,t) по переменной t в точке t = г. Однако член ai(06 ( — t) исключить таким образом невозможно и уравнение не свести к однородному. Единственный путь для определения весовой функции состоит в решении краевой задачи (3.2.5), (3.2.6) с граничным условием, содержащим б-функцию. [c.98] Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции и (р) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, I), и подставить в решение х = I. [c.101] Вернуться к основной статье