ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Влияние излучения на граничные условия при свободной конвекции из "Проблемы теплообмена" При = О уравнения (82)—(85) сводятся к случаю свободной конвекции в отсутствие излучения (эту задачу рассматривали Спэрроу и Грегг [34]). [c.33] Функции о( ) и 1(-Г]) для свободной конвекции. [c.34] Первый член дает результат, характеризующий чистую конвекцию без излучения. [c.34] Так же, как и в предыдущем разделе, разберем асимптотическое поведение решения при больших значениях параметра излучения . Чтобы упростить эту задачу, будем рассматривать только линеаризованное излучение, граничные же условия выберем в виде выражения (93). Как только что отмечалось, малые значения % относятся как раз к таким условиям. [c.35] Легко видеть, что, как и для вынужденной конвекции, первый член полученной зависимости выражает теплоотдачу от пластины с постоянной температурой. [c.36] Таким образом, формулы (92) и (102) при Рг = 0,72 представляют собой решение задачи соответственно для малых и больших значений 5. Следует заметить, что если бы мы учитывали тепловой поток, пропорциональный разности четвертых степеней температуры, а не линеаризованный член, то получили бы дополнительный параметр qJaгT в качестве коэффициента при втором члене в уравнении (102). [c.37] Для проверки аналитических решений (см. выше) были проведены экспериментальные исследования, направленные на изучение естественной конвекции вдоль вертикальной плиты с постоянным тепловым потоком на поверхности. Предпочтение естественной ( а не вынужденной) конвекции отдано лишь потому, что в этом случае требовалось меньше оборудования, необходимого для проведения опытов. С другой стороны, расчеты показывают, что изменение конвективных граничных условий из-за влияния излучения значительно меньше для свободной конвекции по сравнению с вынужденной. [c.37] Экспериментальное устройство показано на рис. 17. Испытательная пластина представляет собой лист нержавеющей стали 304 (толщиной 0,458жж). Такой же лист используется в качестве защитного, и он отделен от испытательного слоем изоляции из стекловолокна толщиной 25,4 мм. Обе пластины — и испытательную и защитную — нагревали, пропуская через них переменный ток, при этом тепловыделение внутри пластин было равномерным. Обе пластины соединяли последовательно медной шиной прямоугольного сечения 25,4 х Х25,4 мм, как показано на рис. 17. Толщину пластин тщательно измеряли (отклонение не превышало 1 %), Мощность, подводимую к испытательной пластине, определяли ваттметром, который подключали к точкам, показанным на рис. 17, причем отводы проводов подпаивали к внутренней поверхности пластины. [c.37] Коэффициент же объемного расширения рассчит гоали как р = 1/Тоо- Такой способ обработки результатов эксперимента рекомендован Спэрроу и Греггом [38]. [c.38] Экспериментальные данные приведены на рис. 18 в интервале чисел Грасгофа от 1,6 - 10 до 1,3 10 . На рис. 18 показаны также асимптотические решения для малых и больших значений 5 в соответствии с уравнениями (92) и (102) (сплошные линии). Штриховыми линиями показана линейная интерполяция между этими двумя предельными случаями. Из рисунка видно, что экспериментальные данные находятся в хорошем согласии с теоретическими решениями и линейной интерполяцией максимальное отклонение составляет 8%. [c.38] Уравнения, описывающие процессы в физических полях, зачастую бывают нелинейными. Однако при аналитическом исследовании там, где этО возможно, их линеаризуют, что дает возможность воспользоваться преимуществами метода суперпозиции. Линеаризация представляет собой некоторое приближение, и поэтому следует ожидать, что линеаризированное решение достаточно хорошо описывает истинное поведение только в случае малых нелинейностей системы. Иными словами, если нелинейности велики, то для правильного объяснения поведения системы их необходимо учитывать. Такой системой из области механики является, например, жесткая или мягкая пружина. В качестве примера из гидродинамики можно привести задачу о росте пограничного слоя и задачу о распространении ударных волн. [c.41] При исследовании различных задач теплообмена и особенно задач теплопроводности при линеаризации уравнений предполагают, что теплофизические свойства не зависят от температуры, а в качестве граничных условий берут линейные условия. При исследовании теплопроводности в твердых телах такая линеаризация вполне достаточна. Так, широко известная монография Карслоу и Егера [1] фактически целиком посвящена решению линейных задач нестационарной теплопроводности. Однако если температура твердого тела изменяется в широких пределах, то за счет зависимости теплофизических свойств от температуры уравнение теплопроводности становится нелинейным и его решение не может быть получено ни одним из тех методов, которыми пользуются авторы упомянутой монографии. [c.41] С другой стороны, если сам температурный уровень становится достаточно высоким, то существенную роль начинает играть теплообмен излучением и, кроме того, могут быть фазовые превращения. В этом случае нелинейными становятся граничные условия, и снова упомянутые выше методы решения оказываются бессильными. [c.41] В этой главе излагается математический метод, называемый интегральным, который позволяет получить приближенные решения нелинейных задач нестационарной теплопроводности. При решении данных задач нет необходимости их линеаризовать, ибо сам метод достаточно эффективен и позволяет успешно преодолеть все трудности, связанные с нелинейностью задачи. С помощью интегрального метода уравнение в частных производных с нелинейными граничными условиями удается привести к обыкновенному дифференциальному с заданными начальными условиями, решение которого часто может быть получено в замкнутой аналитической форме. [c.41] Введем теперь в рассмотрение величину б(/), которую назовем глубиной проникания . Глубина проникания 6 t) обладает следующим свойством. Для всех значений л б( ) можно с достаточной точностью считать, что температура среды равна температуре начального состояния, а тепло не распространяется за пределы этого расстояния. Глубина проникания — аналог толщины пограничного слоя в гидродинамике. Умножив соотношение (1) на dx и проинтегрировав в пределах от л = О до д = 6, получим уравнение, называемое интегралом теплового баланса. Потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не первоначальному уравнению теплопроводности (1), а осредненному, т. е. интегралу теплового баланса. Отсюда следует, что исходное уравнение теплопроводности будет удовлетворяться лишь в среднем. Такое осредненное уравнение—интеграл теплового баланса— аналог интеграла импульсов в теории пограничного слоя. Впервые интегральные методы были введены Карманом и Польгаузеном [2] для решения нелинейных гидродинамических задач пограничного слоя. Современное состояние метода Кармана — Польгаузена и библиография по этому вопросу рассмотрены в монографии Шлихтинга [3 ]. Одна-ко этот же метод с одинаковым успехом можно применить для решения любой задачи, описываемой уравнением диффузионного типа. Уравнениям данного типа подчиняются такие процессы, как процесс нестационарной теплопроводности в твердых телах, неустановившееся течение жидкости в пористых средах, смешение двух биологических разновидностей, распространение слухов (из области социальных наук). Ниже интегральный метод будет развит применительно к задачам теплообмена. Решения, найденные с его помощью, хотя и не совсем точны, тем не менее часто вполне удовлетворительны с инженерной точки зрения. [c.42] При сравнении выражений (13) и (14) видим, что по форме результаты совпадают полностью (различно только значение численного коэффициента). Так как YA/п = 1,13, а 1/3/2 = 1,23, то ошибка составляет около9%. Эту ошибку можно уменьшить, если при решении использовать более сложный профиль температур по сравнению с квадратичной формой (7), а также применить другие методы решения, о которых пойдет речь ниже. Учитывая, однако, грубость принятого метода и использованного профиля температур, приходится скорее удивляться такому хорошему совпадению точного и приближенного решений. [c.43] Во внутренних точках рассматриваемой области, где температура ниже, относительная ошибка будет выше, но даже и там ход температур сравнительно хорошо описывается найденной приближенной зависимостью. [c.43] В приведенном выше простом примере выявлены все характерные особенности интегрального метода. Значительная часть материала, помещенного ниже, посвящена иллюстрации применения интегрального метода для решения различных практических задач. Рассмотрены задачи теплопроводности и конвекции без учета и с учетом зависимости теплофизических свойств от температуры, теплообмен с изменением фаз, задачи со сферической и цилиндрической симметрией. [c.44] Несмотря на то, что мы в дальнейшем также будем применять интегральный метод к исследованию ряда конкретных случаев, главная цель нашей работы состоит в том, чтобы познакомить читателя с сущностью интегрального метода как некоего математического аппарата, используемого для определенного класса задач. Поэтому все приложения рассматриваемого метода даны главным образом как иллюстративные примеры. В настоящее время благодаря усилиям многих исследователей, работы которых будут рассмотрены ниже, интегральный метод вышел далеко за рамки первоначального элементарного уровня. Кроме примеров, иллюстрирующих приложение метода, мы рассмотрим также приемы улучшения его точности, сравним интегральный метод с другими, применяющимися для решения этих же задач, рассмотрим возможные ограничения интегрального метода и способы их преодоления. [c.44] Вернуться к основной статье