ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Алгоритм оптимального управления группой параллельно работающих печей пиролиза бензина из "Математическое моделирование и оптимизация пиролизных установок" Анализ П66] показывает, что функция = (T в , f ) является сепарабельной, непрерывной по независимым переменным и FJ и имеет один глобальный максимум, который достигается в точ ке, соответствующей экстремальным значениям составляющих функций FJRJ 1см. (1.2)]. [c.117] Задача отыскания максимума целевой функции (У.13) при некоторой совокупности ограничений, составленных на основе выражений (1.6)—(1.12), является классической задачей нелинейного программирования на условный экстремум [154, 163]. [c.117] Решим задачу для наиболее общего и наиболее распространенного варианта ее постановки 5, когда необходимо отыскать максимум целевой функции ( .13) при строго заданных суммарной производительности по сырью — выражение (1.10) и суммарной выработке этилена — выражение (1.12) в условиях технологических ограничений (1.6)—(1.7). [c.117] Решение данной задачи известными методами [163] оказывается сложным и длительным ввиду большого числа независимых переменных. Для ее решения авторами был разработан достаточно простой итерационный алгоритм, обеспечиваюш,ий быстрое отыскание оптимальных значений температур и расходов. Алгоритм основан на результатах исследования поведения целевой функции в области допустимых значений режимных параметров и включает несколько процедур, которые рассмотрены ниже. [c.118] Система алгебраических уравнений, составленных из необходимых условий экстремума функции Ф2, оказывается нелинейной и сложной в явном виде относительно температур и расходов она неразрешима. Решение ее с помощью известных численных методов [109] требует значительного объема памяти и времени счета на ЭВМ, что нежелательно для автоматических управляющих систем. Процесс решения намного упрощен и сокращен в результате использования разработанного авторами итерационного алгоритма, который основан на следующих свойствах целевой функции. [c.119] При 1=0 координаты оптимума этого выражения соответствуют координатам оптимума его первого слагаемого в правой части, при а- оо — координатам оптимума второго слагаемого. В первом случае процесс будет направлен на получение максимального количества пропилена, бутиленов и других побочных продуктов (в соотношении, определяемом их ценами), а выпуск этилена будет минимальным. С увеличением цены на этилен координаты оптимума начинают смещаться в область этиленового режима и при больших ее значениях оптимальным будет чисто этиленовый режим (см. рис. У-Ю). [c.119] В силу особенности целевой функции и статических характеристик объекта по каналу температура T j —выход этилена все найденные значения температур будут соответствовать левой ветви этих характеристик. [c.121] Блок-схема алгоритма решения задачи (V.24) представлена на рис. V-11. Итерационная процедура решения заключается в следующем. [c.121] НИИ цены (в данном случае условной) на этилен, которая на каждом шаге итерационной процедуры определяется по формуле. [c.123] При условии правильного задания ограничения на суммарный выпуск этилена (V.29) данная процедура быстро сходится. [c.123] Величина коэффициента выбирается экспериментально в пределах 10 —10 руб/ч и зависит от параметров модели процесса. [c.123] Поскольку в процедурах Л и 5 не учитывались технологические ограничения на независимые переменные процесса, полученное решение может не удовлетворять этим ограничениям. Поэтому значения температур T j и расходов Fj, определенные по процедурам А и В, будем считать условно-оптимальными. [c.123] Процедуры С и D необходимы для приведения полученных условно-оптимальных значений независимых переменных T j и У] в соответствие с технологическими ограничениями, т. е. для перехода от координат седловой точки функции Фа к координатам седловой точки функции Ф. В результате находится относительный максимум функции R с учетом всей совокупности ограничений, что является окончательным решением задачи ((V.15). [c.123] Для задач нелинейного программирования известно [163], что если Б области экстремума функции ограничения на ее независимые переменные выполняются со знаком строгого неравенства, то при отыскании экстремума эти ограничения можно не учитывать. На этой основе будем считать, что если в точке максимума функции Ф некоторые параметры 7 . vlF°. удовлетворяют технологическим ограничениям (1.4—1.8), т. е. лежат в допустимой области, то при оптимизации ограничения на них можно не учитывать. Это означает, что в функции Ф соответствующие обращаются в нуль и что число вспомогательных переменных в выражениях (V.15)—(V.16) уменьшается. Таким образом, решение задачи (V.15) может быть существенно упрощено, если известны вспомогательные переменные Av , которые необходимо учитывать, и их число меньше, чем число основных переменных T j и Fj (т. е. 2Ni). Однако учет в явном виде в функции Ф хотя бы одной вспомогательной переменной делает задачу оптимизации этой функции практически нереализуемой для управляющих вычислительных машин. Поэтому предлагается осуществить переход от координат седловой точки функции Фг к координатам седловой точки функции Ф с помощью итерационных процедур С и Д (рис. V-12 и V-13), которые основаны на особенностях целевой функции и заданной совокупности ограничений. [c.123] Отсюда следует справедливость положения 2. [c.125] Эта точка является максимумом функции Д7 , так как критерий Я в точке (Гву, имеет относительный максимум. Следовательно, с увеличением кТ, и АР, в силу монотонного уменьшения А/ (увеличения абсолютных значений) величина критерия Я будет монотонно уменьшаться. [c.126] Условия (У.45)—(У.48) позволяют определить значения вспомогательных переменных Ayj — неравенство (У.16) — без решения в явном виде основной задачи (У.15). [c.126] Таким образом, для перехода от седловой точки функции Фа к седловой точке функции Ф условно оптимальные значения расходов и температур, которые вышли за допустимые пределы, необходимо принять равными этим пределам, а для остальных повторить расчет по процедуре В, но с новыми значениями плановых ограничений. [c.126] Учитывая сепарабельность целевой функции (V.13), количество рабочих циклов в процедурах С и D можно сократить. Это достигается следующим образом на каждом цикле все параметры, выщедшие за одну из границ допустимой области, принимаются равными этой границе. [c.127] Рещение задачи заканчивается, когда все значения независимых переменных будут удовлетворять регламентным ограничениям (1.6)—(1.7). [c.127] Вернуться к основной статье