ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Преобразование Фурье из "Механическое поведение полимерных материалов" Порядок стремления к нулю подынтегральной функции определяет характер сходимости преобразования Фурье. Все экспериментально определенные функции задаются всегда на конечном интервале, тогда как для вычисления интеграла Фурье необходимо знать подынтегральную функцию на всей действительной полуоси. Поэтому для вычисления интеграла Фурье необходимо подынтегральную функцию, определенную на конечном интервале, экстраполировать на бесконечность. [c.148] Всякое экстраполирование вообще крайне нежелательная операция, так как методов экстраполяции, обеспечивающих надежные результаты, не существует. Особенно нежелательна экстраполяция на бесконечность. Эта экстраполяция может быть заменена экстраполяцией на нуль, путем замены переменной в несобственном интеграле с бесконечным пределом интегрирования. Так как при этом подынтегральная функция будет иметь бесконечный разрыв в нуле, такая замена ничего существенного не дает. [c.148] Перед экспериментатором, желающим обработать свои результаты с помощью преобразования Фурье, возникает дилемма либо вообще отказаться от формул, включающих несобственные интегралы, а таких формул большинство, либо экстраполировать подынтегральную функцию на бесконечность. [c.148] Рассмотрим пример вычислейия модуля потерь (ю) по заданной функции релаксации f) с помощью преобразования Фурье по уравнению (3.33). В табл. 3 даны значения функции релаксации, соответствующие прямоугольному спектру релаксации, при 5 = 1, 2 = 10. Ф (0) = 180. В данном примере модуль потерь определяется формулой (4.90), что позволйет вычислить точное значение модуля потерь и оценить степень приближения, которую мы здесь получаем. [c.149] Функцию (О выбираем так, чтобы она асимптотически совпадала с функцией релаксации, т. е. [c.150] Результат нужно считать вполне удовлетворительным, так. как относительная ошибка равна всего лишь 0,25%. Этот результат не следует считать типичным. С увеличением частоты ю точность вычислений быстро падает. Надо учесть еще, что число ординат при вычислении интеграла должно быть достаточно большим, После того как в преобразовании Фурье бесконечный интервал заменен конечным интервалом интегрирования, мы получаем формулу, которая с точностью до постоянного множителя совпадает с формулой для коэффициентов ряда Фурье. В нашем случае в отличие от формулы для коэффициентов интервал интегрирования не будет кратным периоду тригонометрических функций. Преобразование Фурье для больших значений частоты будет соответствовать коэффициентам Фурье при гармониках высокой частоты. Хорошо известно, что выделение гармоник высокой частоты в ряде Фурье связано с большими вычислительными трудностями, так как требует большого числа ординат высокой точности для вычисления соответствующего интеграла. [c.151] Таким образом определяется область практического применения преобразования Фурье для вычисления основных функций. [c.151] По известным значениям действительной или мнимой части комплексного динамического модуля можно вычислить значения функции релаксации для малых значений времени. Как раз для малых значений времени экспериментальное определение функции релаксации затруднительно. Вычисление функций модуля для малых частот позволяет оценить, насколько удачно сделана экстраполяция функции релаксации, как, например, в приведенном выше примере. [c.152] Следует напомнить, что для малых значений аргумента синус-и косинус-преобразования Фурье не равнозначны. Поэтому вычисление, например, функции релаксации для малых времен по действительной части комплексного динамического модуля и по мнимой части (модуль потерь) для малых значений времени дает значительную разницу результатов. Это связано с тем, что синус-преобразование — функция нечетная, а косинус-преобразование — функция четная. В случае малых значений времени для вычисления функции релаксации нужно отдать предпочтение косинус-преобразованию. Для больших значений времени эти преобразования будут равнозначны и могут служить для проверки вычисленных значений функции релаксации. [c.152] Так как преобразование Фурье для больших значений аргументу трудно вычислить, возникает идея разделить подынтегральную функцию не на сумму двух функций, а на сумму большего числа функций с тем, чтобы по возможности уменьшить интервал интегрирования. Эта идея непосредственно приводит к задаче выделения экспонент, потому что экспоненты — наиболее простые и удобные функции для приближения основных функций, таких, как функция релаксации или ползучести, при этом комплексный динамический модуль и податливость определяются тоже простыми выражениями. [c.152] Вернуться к основной статье