ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Свойства инверсии из "Инверсия" На протяжении этого параграфа через ф обозначается инверсия на плоскости, имеющая центр в точке О, радиус которой равен г. [c.16] Прежде всего установим одну простую лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии. [c.16] Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения инверсии. [c.17] Поэтому точка X лежит на окружности К, построенной на отрезке ОМ как на диаметре. Так как точка X взята на прямой I произвольно, то образ прямой I при инверсии Ф представляет собой совокупность точек расположенную на окружности К. [c.18] доказано, что точка У есть образ точки 2 при инверсии ф. [c.18] Таким образом, образ прямой I совпадает с окружностью К. [c.18] В том частном случае, когда прямая I касается окружности инверсии, точки М и М совпадают и потому окружность I строится на отрезке ОМ как на диаметре. [c.18] Теорема 3. Инверсия ср преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходящую через точку О. [c.19] Доказательство этой теоремы мы предлагаем провести читателю самостоятельно. [c.19] Теорема 4. Инверсия гр преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через центр инверсии. [c.19] Доказательство. Пусть К — окружность, не проходящая через центр инверсии О. Через точку О проведем прямую так, чтобы она пересекла окружность К по диаметру АВ (рис. 21). Пусть А и В —образы точек А и В относительно инверсии ф, X — произвольная точка окружности /( и X — ее образ. [c.19] Построения, проведенные выше, дают возможность строить образ окружностей при инверсии с помош,ью циркуля и линейки. Остановимся на этом вопросе более подробно. [c.20] Перейдем теперь к вопросу о характере изменения углов между кривыми под действием инверсии ф. Как известно, углом между двумя кривыми и в точке их пересечения называется наименьший из вертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке. [c.21] Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми сохраняются. Ниже это предложение доказывается для окружностей и прямых. [c.22] Теорема Ъ. При инверсии ф угол между прямыми равен углу между их образами. [c.22] О параллельны прямым 1х и t . Отсюда и вытекает утверждение теоремы. [c.24] Имеют место следующие теоремы, доказательство которых мы предоставляем читателю в виде полезных упражнений. [c.24] Теорема 6. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии. [c.24] Теорема 7. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии. [c.24] Вернуться к основной статье