ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Класс W-матриц из "Стохастические процессы в физике и химии" Это дифференциальная запись уравнения Чепмена — Колмогорова, справедливая для вероятности перехода любого стационарного марковского процесса, удовлетворяющего соотношению (5.1.1) ее называют основным кинетическим уравнением. [c.101] Это обычный вид основного кинетического уравнения. Функция Р(у, t) не обязательно относится к подансамблю, определенному начальным значением, а может быть определена некоторым начальным распределением Р у, 0) (ср. с 4.4). [c.101] Предостережение. Заменяя (5.1.4) на (5.1.5), мы проясняем физический смысл, но одновременно увеличиваем опасность неправильной интерпретации. Основное кинетическое уравнение —это уравнение для вероятности перехода величины У (/), а не для ее плотности вероятности Ру (у, 1). Имея в виду (4.4.1а) или (4.4.2а), можно сказать также, что это уравнение для величины Р1(у, I) любого подпроцесса, который может быть выделен из У ( ) наложением начального условия. Тогда все решения основного кинетического уравнения имеют физический смысл, Уравнепг.е, одно решение которого случайно совпадает с Ру для одного стохастического процесса, не является основным кинетическим уравнением. Только и.мея в виду эту интерпретацию можно безопасно использовать уравнение (5.1.5) вместо (5.1.4) . [c.102] Этот результат совпадает с (4.6.2) (ср. с. (4.6.3)). [c.103] Упражнение. Постройте основное кинетическое уравнение для дихотомического марковского процесса (4.2.3). [c.104] Упражнение. Решите основное кинетическое уравнение и найдите таким способом (4.2.3). [c.104] Упражнение. С помощью вычислений, аналогичных (5.1.8), найдите (Л/( )2 и (П для процесса распада и сравните результаты с (4.6.9). [c.104] Упражнение. Случайное блуждание с непрерывным временем определено следующим образом. Состояниями являются все целые числа (— оо п оо). Частица может совершать скачки между соседними состояниями. За короткое время она с равной вероятностью 1/27 с1( может совершить скачок вправо или влево. Постройте основное кинетическое уравнение для () (ср. 6.2). [c.104] Упражнение. В популяции п бактерий каждая отдельная бактерия с вероятностью а умирает за единичное время и с вероятностью Р порождает новую бактерию. Постройте основное кинетическое уравнение ( процесс рождения — гибели , ср. с гл. 6). [c.104] Упражнение. Запишите основное кинетическое уравнение для процессов с независимыми приращениями, определенных в (4.4.7), и решите его. Используя это решение, покажите еще раз, что стремится к гауссову распределению. [c.104] Упражнение. Марковский процесс с факторизованной матрицей перехода (У У ) = (у ) (для у 7= у ) называют процессом кенгуру. Покажите, что такое основное кинетическое уравнение можно решить, т. е. что Р (у, 1) можно выразить через Р (у, 0) с помощью интегралов. Указание. [c.104] Упражнение. Найдите явное решение процесса кенгуру с у(1/) = соп51 и объясните результат (процесс Кубо — Андерсена-, дихотомический марковский процесс является частным случаем). [c.104] Это выражение для р 1) иногда оказывается удобным, но не позволяет найти явного вида p t). В качестве общего метода решения уравнений типа (5.2.3) нельзя использовать методы, основанные на собственных векторах и собственных значениях матрицы потому что не обязана быть симметричной и не все решения могут быть получены как суперпозиция ее собственных мод (см., однако, 5.7). [c.105] Эти свойства сохраняются при одновременной перестановке строк и столбцов, что эквивалентно переобозначению состояний. Но они не сохраняются при произвольном преобразовании подобия АУ Поэтому в данной задаче такие преобразования не приносят пользы. Матрицу, обладающую свойствами (5.2.5), будем называть У-мат-рицей. А теперь перечислим некоторые следствия, вытекающие из свойств (5.2.5). Наши утверждения являются строгими для конечномерных У-матриц. Часто они оказываются применимыми также к системам, имеющим бесконечное счетное или непрерывное множество значений, но в этом случае они оказываются лишь полезной, но не всегда применимой путеводной нитью. [c.105] Упражнение. Если —2х2-матрица, то экспоненту в (5.2.4) можно вычислить непосредственно, раскладывая в ряд по степеням Используйте этот метод для решения основного кинетического уравнения дихотомического марковского процесса. [c.108] Определите состояния а, Ь, с и запишите Ш-матрицу для этого процесса. Упражнение. Если имеет вид (5.2.6), (5.2.7) или (5.2. 0), то все степени ( = 0, I, 2,. ..) имеют один и тот же вид. [c.108] Упражнение. Пусть у У-матрицы есть собственный вектор с неотрицательными компонентами, некоторые из которых равны нулю. Тогда Ш-матрица приводима. Если у Ш есть вырожденное собственное значение, то у нее есть два собственных вектора с неотрицательными компонентами. [c.108] Упражнение. Пусть у Ш-матрнцы имеется два линейно независимых собственных вектора с положительными компонентами, а собственные значения равны нулю, тогда Ш разложима. [c.108] Покажите, что в этом примере отсутствует стационарное распределение и что все состояния являются переходными (ср. с. 6.2). [c.108] Вернуться к основной статье