ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Три интегрируемые гамильтоновы системы и их связь с изоспектральными деформациями из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" Однако события приняли совершенно другой оборот, когда Пуанкаре показал, что большинство гамильтоновых систем не интегрируемы, и привел аргументы, указывающие на неинтегрируемость задачи трех тел. В том же отрицательном направлении лежит открытие Брунса несуществования алгебраических интегралов в задаче трех тел за исключением хорошо известных классических интегралов или их алгебраических функций. Другими словами, интегрируемость гамильтоновых систем не является их общим свойством она разрушается при малых возмущениях гамильтониана. [c.36] Конечно, эти рациональные функции в общем случае нельзя выписать явно, но этого представления достаточно, чтоб дать полное описание проблемы рассеяния, связанной с данной задачей (см. раздел 7). [c.38] Таким образом, после весьма сложного взаимодействия частицы ведут себя как свободные с переставленными скоростями, то есть первая частица имеет при t оо скорость последней t —ос, и т.д. [c.39] Здесь Xk рассматриваются по модулю тг как координаты различных точек на окружности. Эти уравнения являются аналогом уравнений Сазерленда [14] в классической механике. Также будет показано, что данная гамильтонова система также является интегрируемой с п интегралами представляющими собой полиномы по и Xg xk — xi). [c.39] В отличие от предыдущих примеров, последняя задача имеет компактную энергетическую поверхность. Следовательно, поверхности Ik = onst (f = 1, 2,. .., п) компактны и потому, как хорошо известно, являются торами, на которых решения квазипериодичны. Однако функциональные свойства этих решений еще не были удовлетворительно описаны. [c.39] В разделе 2 этот метод иллюстрируется для уравнений (1.1), хотя в этом нет ничего нового. Действительно, Флашка [4, 5] впервые заметил, что этот метод может быть применен к цепочке Тода, и данный пример представляет собой лишь незначительную вариацию на эту тему. В разделе 3 с той же точки зрения рассматривается уравнение (1.3), а в разделе 4 делаются выводы, относительно соответствующей задачи рассеяния. Система п частиц на окружности рассмотрена в разделе 5. Наконец, в разделах б и 7 обсуждаются обратная спектральная задача и задача рассеяния, связанные со специальными матрицами Якоби. Последняя приводит к интересному движению, в котором частицы разделяются на пары, каждая из которых обладает отличной от других асимптотической скоростью, в то время как две частицы одной пары имеют равные асимптотические скорости. Фазы рассеяния также могут быть определены с помощью соответствующих дифференциальных уравнений цепочки Тода для конечного числа частиц. [c.40] Вернуться к основной статье