ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория из "Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория" В течение последних пятнадцати лет появились многочисленные публикации по интегрируемым гамильтоновым системам, солитонам, уравнению Кортевега-де Фриза. Интегрируемые гамильтоновы системы — это нелинейные дифференциальные уравнения, которые имеют достаточное количество симметрий и в большей или меньшей степени допускают явные решения (отсюда и название). Оказалось, что эти системы находят приложения в различных областях физики, в таких, как механика жидкости, физика плазмы, нелинейная оптика и т.д. Математическая теория раскрыла глубокие связи таких систем с дифференциальной геометрией, теорией алгебр Ли и алгебраической геометрией, спектральной теорией линейных операторов в гильбертовом пространстве, однако последнее слово еще не сказано. [c.184] Наша задача состоит не в том, чтобы дать обзор этой интересной области, а скорее описать несколько интегрируемых гамильтоновых систем классической механики, таких, как геодезический поток на п-мерном эллипсоиде, восходящий к Якоби, и их тесную связь с обратной спектральной теорией одномерного уравнения Шредингера. [c.184] Во-вторых, в общем случае является несправедливым утверждение, что потенциал однозначно задается спектром. В самом деле, q x) и его трансляция q x + t) имеют один и тот же спектр. Однако в общем случае потенциалы, принадлежащие заданному спектру, образуют бесконечномерное многообразие. Следовательно, обратная спектральная задача состоит в описании замкнутых множеств на действительной оси, которые подходят в качестве спектра, и в определении всех потенциалов, допускающих такой спектр. [c.185] В действительности конечнозонные потенциалы оказываются связанными с различными механическими задачами, а именно, с движением материальной точки на п-мерной сфере х х = 1 под воздействием силы, созданной квадратичным потенциалом. Эта задача также может быть решена через абелевы интегралы, как было показано К. Нейманом в 1859 г. Он использовал ту же технику разделения переменных в уравнениях Гамильтона-Якоби, которая была развита Якоби и использована им для нахождения геодезических на эллипсоиде. Однако только недавно Кнёррером [13] было обнаружено, что задача Неймана может быть сведена к геодезической задаче Якоби с помощью отображения Гаусса. Это будет описано в 3 части. [c.186] За исключением этих предельных случаев конечнозонные потенциалы для заданного спектра /о, Л Ig почти периодические и образуют тор Т . Кроме трансляции q x) q x + i), есть g — I других потоков на Т , оставляющих спектр неподвижным. [c.188] Оказывается, что к классическим задачам Якоби и Неймана можно подойти и разрешить их с помощью метода изоспектральных деформаций некоторых классов матриц — вместо разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. [c.188] Эта величина связана с так называемой плотностью состояний а = а(Л) — монотонно возрастающей непрерывной функцией на действительной оси, которая определяет спектр оператора. При этом носитель меры (1,а соответствует спектру. [c.189] С другой стороны, как будет показано в разделе 4, мультипликатор Флоке может быть также использован для определения законов сохранения уравнения КдФ. [c.189] Наконец, в разделе 5 мы обсудим конечнозонные потенциалы и их связь с классическими задачами Якоби и Неймана. В разделе 6 мы изучим предельные случаи, связь мультипликатора Флоке с отображением Кристоффеля-Шварца верхней полуплоскости на область с разрезом, а также потенциалы Баргмана. [c.189] Вернуться к основной статье