ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Центрированные простые вол. Задача об истечении газа в вакуум из "Лекции по основам газовой динамики" Другими словами, вдоль каждой характеристики С+ сохраняет постоянное значение инвариант Римана г и вдоль каждой характеристики С. сохраняет постоянное значение инвариант Римана /. [c.148] Простые волны. В терминах инвариантов Римана явно описываются простые волны как специальные типы рассматриваемых движений газа. Непосредственный перенос результатов 13 дает лишь следующую информацию о простой волне это такое движение, в котором основные величины зависят от одной функции а(х, t) — параметра простой волны, причем линии уровня а х, t) = onst являются прямыми и образуют семейство характеристик на [июскости R x,t). Однако здесь о простых волнах можно сказать больше. [c.149] Доказательство. По определению простой волны и в силу формул (7) инварианты Римана должны быть функциями одного параметра — функции V = а х, t), т. е. [c.150] Простая волна, в которой тождественно постоянен инвариант Римана г (соответственно I), называется коротко г-волпой (соответственно 1-волной). [c.151] Отсюда следует, в частности, что совокупность всевозможных простых г-волн (а также /-волн) зависит от одной произвольной функции. В качестве таковой может рассматриваться, например, функция F(u) в уравнениях (16) и (17). [c.151] Теорема о примыкании. В связи с понятием простых волн возникает важная задача об их распознавании, т. е. о формулировке таких признаков, по которым можно было бы судить о том, что в некоторой области движения газа есть простая волна. Общее достаточное условие существования простой волны дается в нижеследующей теореме, в которой одномерное движение с плоскими волнами заранее не предполагается изэнтропическим. [c.151] ДОКАЗАТНЛЬСТВО, Пусть вдоль характеристики С+ величины и, р, р постоянны. Тогда вдоль нее также постоянна и энтропия S. Пусть По С R x,t) есть множество, состоящее из точек всех траекторий Со, пересекающих данную характеристику С+. Так как С+ не есть линия вакуума, то Qq является областью. Ясно, что в области По энтропия тождественно постоянна. Пусть С R x,t) есть множество, состоящее из точек всех характеристик С , пересекающих данную характеристику С+. Ясно, что тоже является областью. Так как инвариант Римана I постоянен вдоль данной С+ и постоянен вдоль каждой С , то он тождественно постоянен в области i2 . Следовательно, если на пересечении областей Qq и Q- движение не постоянно (хотя бы с одной стороны от С+), то в силу теоремы 1 это движение есть простая /-волна. Аналогично рассматривается случай, когда величины и, р, р постоянны вдоль некоторой характеристики С-. [c.152] Если во второй части теоремы отказаться от требования изэнтропичности непостоянного движения, примыкающего к постоянному, то утверждение будет, вообще говоря, неверным. Действительно, примыкание может происходить вдоль траектории (характеристики Со), а не постоянное движение может быть изобарическим (см. 9). Однако если дополнительно предположить, что примыкание происходит по звуковой характеристике, то вторая часть теоремы будет верна и без требования изэнтропичности (впрочем, в этом случае она фактически совпадает с первой частью теоремы). [c.152] Центрированные простые волны. Выделяется важный специальный тип простых волн. [c.152] Очевидно, что величины и и с, определенные уравнениями (19) (или уравнениями (20)) как функции переменных (ж, i), зависят только от отношения Л = x/t. Это означает, что каждая центрированная простая волна описывается автомодельным решением уравнений (1). Из определения простых волн (см. 13) следует, что, и обратно, любое автомодельное решение системы уравнений одномерного движения с плоскими волнами с автомодельной независимой переменной А = x/t, должно быть простой волной. Используя уравнения (13), легко показать, что любое их автомодельное ре-шепие этого типа является шбо постоянным, либо дастся формулами (19) или (20). Следовательно, совокупность всех автомодельных решений упомянутых уравнений (в частности, уравнений (1)) с параметром автомодельности А = x/t описывается соотношениями (19) и (20). [c.153] Простые волны, центрированные в цроизвольной точке (a o,io). описываются теми же формулами (21) и (22) с заменой дроби xjt дробью (т -Xo)[ t io). [c.154] Центрированные простые волны дают пример решений с особенностью. Из формул (19), (20) видно, что в центре волны (точка (0,0)) основные величины разрывны, а область существования решения есть некоторый сектор, пе содержащий оси х. Пример следующей задачи поясняет, что центрированные простые волны образуются тем не менее вполне естественно. [c.154] На границе истекающего газа с вакуумом должно быть с = О, и из первого соотношения находится скорость истечения Um — j q). [c.154] Картина течения на плоскости событий показана на рис. 2. [c.155] В задаче об истечении газа в вакуум интересен и важен тот факт, что начальные значения разрывны в точке ж = О, так как скорость звука с = = Со О при X О и с = О при X 0. Таким образом, эта задача дает пример того, как из разрывных начальных данных при t = О может вырабатываться движение газа, непрерывное при i 0. [c.155] Волны сжатия и разрежения. [c.155] Процесс распространения простой волны по частицам газа приводит к тому, что плотность р в каждой частице увеличивается (возрастает, растет) или у.меньшастся (убывает, падает). Ясно, что направленрге изменения плотности в частице со временем характеризуется знаком производной Dop. [c.155] Определение 3. Простая волна называется волной сжатия (соответственно волной разрежения), если плотность р в частице с течением времени возрастает, т. е. Dop О (соответственно убывает, т. е. DqP 0). [c.155] Теорема 3. Простая волна является волной сжатия (соответственно волной разрежения), если и только если ручка веера ее прямолинейных характеристик находится сверху (соответственно снизу). [c.156] Вернуться к основной статье