ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Феноменологические релаксационные уравнения в немарковском случае. ФДС первого рода из "Нелинейная неравновесная термодинамика" По дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование (или интегрирование). [c.130] В некоторых примерах индекс а может включать в себя непрерывную переменную, скажем, в качестве а иногда следует брать /, г, где г —радиус-вектор. Тогда под 1 следует понимать тройку /х, Гх, X и т. п. [c.130] Здесь использованы обозначения (10.5). [c.131] Подставляя х = х (Лр) = х , Р [А ]) в первое уравнение (5), можно получить из него уравнение с последействием (1). [c.131] Разность времен t — здесь произвольная. [c.132] Справедливость (18) вытекает из (19) и соотношений взаимности Ер8р/р, о =1а,р (см. (10.11)), в чем МОЖНО убедиться, скажем, разлагая в ряд экспоненту, стоящую в (18). [c.132] Понимая под индексом 1 пару а,, oi, а под индексом 2 — пару 2, СОг, равенство (26) можно кратко записать в прежнем виде (24). Следовательно, формула (24) инвариантна относительно изменения представления (слово представление здесь понимается в том смысле, в каком оно понимается в квантовой теории). [c.133] Выше мы предполагали, что процесс А (f) является частью компонент большого марковского процесса. Это предположение не является ограничительным. В самом деле, любой немарковский процесс можно аппроксимировать частью переменных марковского процесса. Точность аппроксимации можно повышать увеличением числа добавочных компонент С /). Формулы же (23) и (44) не зависят от числа добавочных компонент. Следовательно, в пределе они будут справедливы для произвольного немарковского процесса. [c.136] Здесь мы предположим, что среди II,отличны от нуля только коэффициенты /р,от н что в формулах Xi = UijBj - линейно-квадратичного приближения значения 5ци равны нулю, так что можно пользоваться простыми линейными соотношениями (8). Более общий случай может быть рассмотрен в принципе теми же методами, но связан с более громоздкими выкладками. [c.137] Для краткости матрицы //ро- здесь и в дальнейшем будем полагать единичными (этого можно добиться линейной заменой переменных А, а также С). [c.137] Уравнение (48) имеет общий вид (3) для линейно-квадратичного приближения, функции же Фа, , Ф , 37 конкретизированы. [c.137] Прочие корреляторы не рассматриваются. [c.137] В силу малости шумов в главном приближении по кТ можно не различать, в каком смысле понимаются входящие в (56) стохастические выражения (в смысле Ито или в симметризованном, см. приложение 7). Другими словами, можно пользоваться формулами (52) и в то же время обращаться с входящими в (56) случайными функциями по обычным правилам, как с обычными гладкими функ-ци ями. [c.138] Первый из них соответствует фиксированной траектории X . При вычислении Фар,., следует в учитывать лишь члены порядка кТ и линейные по х. При вычислении Ф р нужно учитывать только члены, имеющие порядок кТУ и не зависящие от л. Это указывает точность, с которой следует решать второе уравнение (56). [c.139] Демонстрация его справедливости в случае уравнения (56) более трудоемка и мы ее не будем приводить. [c.141] При этом соотношения (24) и др. перейдут в (10.11) и др. Поэтому можно сказать, что полученные в п. 10.2 соотношения есть ФДС первого рода для случая марковских процессов. [c.142] В (74) i2,u есть диссипационно-неопределяемая функция, т. е. функция, которую нельзя получить, зная только Фх, 234- Она определяется функцией Ф12,34. Исключая С12,34 из (74), будем иметь три равенства. [c.142] Вернуться к основной статье