ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Предисловие автора к первому изданию из "Анализ размерностей" Расширение области применения методов анализа размерностей в технической физике и его значение для теоретических исследований заставляют желать, чтобы каждый физик овладел этим методом анализа. До сих пор не было, однако, систематического изложения принципов метода. [c.10] Возможной причиной этого пробела могло служить мнение о крайней простоте предмета, делающей специальное изложение ненужным. Между тем часто встречаются очень существенные ошибки в отношении основ метода и его применений. Эти ошибки столь распространены и имели настолько глубокое влияние на характер многих спекулятивных построений (см. примеры в книге), что я считаю попытку устранения таких ошибок очень нужной работой. [c.10] Я предпринял поэтому систематическое изложение принципов метода размерностей, иллюстрировав применения многими примерами. Примеры специально подобраны так, чтобы особо оттенить те пункты, в отношении которых ошибки являются распространенными. Я имею в частности в виду вопросы о характере формул размерностей, потребном числе основных единиц и природе размерных постоянных. В добавление к примерам в тексте, в конце книги приложены задачи, которые, думаю, окажутся полезными. [c.10] Вводная глава предназначается для тех лиц, которые уже несколько знакомы с общим методом. Вероятно большинство читателей окажутся такими. В этой главе на конкретных примерах я выдвигаю наиболее важные вопросы, требующие обсуждения. Читатель, для которого предмет совершенно нов, может без всякого смущения пропустить эту главу. [c.10] Каждому физику приходилось применять методы анализа размерностей к простым задачам, в частности в области механики. Разберем несколько примеров для возобновления в памяти сути дела, а также для выяснения тех вопросов, на которые следует ответить при критическом рассмотрении приемов и предпосылок правильного применения общего метода. [c.11] Начнем с очень показательной задачи о простом маятнике, фигурирующей в качестве введения едва ли не в каждом изложении метода. Наша цель — найти без детального решения задачи некоторые соотношения между различными измеряемыми величинами, представляющими для нас интерес. Обычный метод состоит в следующем. Прежде всего выписывается таблица величин, от которых, предположительно, зависит ответ, далее составляются формулы размерности этих величин и, наконец, налагается условие, чтобы эти величины входили в функциональные связи, не зависящие от единиц, в которых величины измерены. [c.11] Мы должны выразить Ь как функцию I, т, g я в таким образом, чтобы функциональное соотношение оставалось неизменным при любом изменении размера основных единиц. [c.12] Величины I и g вместе должны входить в функцию так, чтобы числовое значение аргумента не менялось при перемене единицы длины и постоянном т.е. изменение числовой величины /, осуществляемое переменой размера единицы длины, должно в точности компенсироваться изменением значения g, происходящем при такой перемене единиц. Формула размерности показывает, что для выполнения этого необходимо разделить I на g, т. е. [c.12] В связи с размерностью в может возникнуть следующий вопрос. Мы сказали, что в не имеет размерности, и что ее числовая величина не меняется при изменении основных единиц массы, длины и времени. Несомненно это верно, но отсюда еще не следует, что числовая величина в определена однозначно, как легко видеть хотя бы из того, что в может измеряться в градусах или радианах. [c.13] Рассмотрим теперь тем же методом вопрос о периоде малых колебаний капелек жидкости под влиянием их поверхностного натяжения. Пусть капелька находится вне гравитационного поля и колебания относятся только к изменению формы, например от сферической к эллипсоидальной и обратно. Период колебания, очевидно, будет зависеть от поверхностного натяжения жидкости, ее плотности и радиуса невозмущенной жидкой сферы. Составим таблицу. [c.13] Рассмотрим теперь, что мы подразумевали, говоря вначале, что период колебания будет зависеть только от поверхностного натяжения, плотности и радиуса. Имели ли мы при этом в виду, что результаты независимы, например, от молекулярной структуры жидкости Разумеется, для всякого ясно, что поверхностное натяжение определяется силами между молекулами поверхностного слоя жидкости и будет зависеть очень сложным образом, не поддающимся еще точному расчету, от сорта и строения атомов и от сил между ними. Если это так, то почему же факторы, определяющие междумолекулярные силы, не могут входить в наш перечень основных величин Они, несомненно, играют первостепенную роль в определении физических свойств. Наш выбор можно пытаться оправдать рассуждением вроде следующего Верно, что свойства жидкости определяются чрезвычайно сложной системой атомных сил, однако эти силы влияют на результат лишь постольку. [c.14] Таким образом, нам удается наконец убедить критика в правильности нашего приема, но для этого понадобится использовать значительные экспериментальные ресурсы и, кроме того, потребуется навык и опытность для правильного суждения. Необученный новичок едва ли оказался бы способным применить метод анализа размерностей к нашей задаче и получить удовлетворительные результаты. [c.15] Перейдем к третьей задаче. Даны два тела с массами тгц и Ш2 в пустом пространстве, вращающиеся вокруг общего центра тяжести по круговым орбитам под действием силы взаимного тяготения. Мы хотим знать, каким образом время обращения зависит от других переменных. [c.15] Как и прежде составляем таблицу величин. [c.15] Очевидно, этим и ограничиваются все физические величины, связанные с задачей, ибо когда бы и где бы мы ни заставили два тела с массами Ш1 и Ш2 на расстоянии г совершать круговое движение в пустом пространстве под действием их взаимного тяготения, мы всегда получим одно и то же время обращения независимо от материала, из которого состоят тела, и от их предыдущей химической или динамической истории. [c.16] Найдем функциональное соотношение = /(ТОЬ ТО2, г). [c.16] Налагаем условие, чтобы это равенство выполнялось независимо от выбора основных единиц. Первый же взгляд на уравнение приводит нас в некоторое смущение, так как в левой части стоит только время, в правой же части времени нет совершенно. Критик за нашей спиной подсказывает Но вы включили не все величины, от которых зависит результат, ясно, что вами забыта постоянная тяготения . — Как это может быть, — возражаете вы, — постоянная тяготения должна появиться сама собою, об этом позаботится природа . Несомненно, что два тела с массами тг и шг на расстоянии г одно от другого всегда вращаются с одинаковым периодом. Мы включили в таблицу все физические величины, которые могут изменяться. Критик, однако, настаивает на своем уступая ему, мы вставляем постоянную тяготения в число переменных, чтобы попробовать, что из этого выйдет. Назовем эту постоянную С] очевидно, что ее размерность будет М Ь Т , так как она определяется законом тяготения Ньютона. [c.16] Вернуться к основной статье