ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые основы теории из "Динамика частиц в фазовом пространстве" Траектории изображающих точек в фа-зовом пространстве. [c.9] В свободной от действия сил дрейфовой области поперечный импульс сохраняется, в то время как поперечная координата изменяется в конце дрейфа на величину, равную произведению поперечной скорости pilm на время дрейфа / о, где L — длина дрейфа, Vq — дрейфовая скорость. Если частицы первоначально находятся в области поперечного фазового пространства, ограниченного прямоугольником abed (рис. 1.2), то после дрейфа q координаты каждой частицы изменятся пропорционально начальному импульсу р, преобразовав прямоугольник в параллелограмм. На этом примере, находя преобразование границы, убеждаемся, что координаты всех частиц не только локализованы в фазовом пространстве, но, используя свойства линейной матрицы, которая преобразует прямые линии в прямые, находим это конкретное преобразование границы. [c.10] Такие простые графические построенин значительно облегчают понимание многих вопросов динамики частиц. [c.11] Хотя в предыдущем рассуждении рассматривалось фазовое пространство, занятое группой частиц, как область, внутри которой могут быть найдены предполагаемые известными координаты час тиц, существует другая интерпретация фазового пространства. Если начальные координаты одной частицы неизвестны, мы можем рассмотреть совокупность возможных начальных координат частицы, причем начальные координаты распределены в пространстве так, что их вероятность, определяемая из этого распределения, лучше всего соответствует имеющейся информации о действительных координатах частицы. Плотность вероятности обычно нормируется так, что интеграл от нее по всему пространству равен единице. Это соответствует тому факту,, что действительные начальные координаты частицы находятся где-то в пространстве. Если у нас имеются п невзаимодействующих частиц, то плотность частиц в фазовом пространстве равна плотности, распределения вероятности частиц без нормировки. Траектории в фазовом пространстве дают изменение плотности распределения. Если частицы взаимодействуют, то уравнения (1.1) связаны и размерность фазового пространства больше. Мы вернемся к этому более сложному случаю в 1.3. [c.11] В предыдущих рассуждениях мы не использовали тот факт, что уравнения движения представлены в канонической форме. При использовании данной выше геометрической интерпретации мы могли бы в качестве координаты, отвечающей одной степени свободы, с равным правом выбрать скорость вместо импульса. В следующем разделе введения покажем, почему мы выбрали именно гамильтонову форму уравнений движения. [c.11] Так как дШдр — функция только ря д, а ря д связаны через (1.6), сводим уравнение движения к квадратурам. Часто квадратуры могут быть определены только численно. В таких случаях ценность полученных выше аналитических выражений уменьшается. Однако ин рмация, полученная из рервого интеграла уравнения движения (1.6),. достаточна для многих приложений. В следующем раздое эта ситуация обсуждается более подробно. [c.12] Если дH/дp = / q ) —функция только д1, первое уравнение сводится к квадратурам (т. е. решено) и сходно с предшествующими уравнениями. В общем случае, чтобы получить полное решение, нужно одновременно решить всю систему дифференциальных уравнений. Если В дополнение к гамильтониану существуют другие интегралы движения, тогда число уравнений системы может быть уменьшено. [c.13] Подставляя (1.12) во второе уравнение (1.11), сводим радиальное и угловое движения к квадратурам. [c.13] Законы сохранения в фазовом пространстве. Гамильтонов формализм позволяет получить значительную информацию о движении группы частиц и в том случае, когда неизвестен путь как функция независимой переменной. В частности, если известна начальная энергия системы с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени, то из (1.6) видно, что можно определить импульс как функцию координаты, причем он оказывается не зависящим от времени. Начальные значения р и определяют начальную энергию, которая как раз и является гамильтонианом Я(р , qo) в (1.6). [c.13] Фазовые диаграммы для многомерных систем. Если система имеет больше одной степени свободы, то и решение ее уравнений движения может быть найдено при условии, если переменные разделяются и гамильтониан постоянен. В этом случае каждая степень свободы может быть представлена отдельным движением на своей фазовой плоскости и уравнение по каждой переменной может быть сведено к квадратурам независимо от других переменных. Гамильтониан (1.6) — характерный пример гамильтониана для каждой степени свободы. Если переменные не разделяются, то законченное решение обычно получить невозможно, как и в случае непостоянного гамильтониана. Необходимым, но недостаточным условием того, что переменные можно разделить в некоторой координатной системе, является существование интеграла движения для каждой степени свободы. Известно, что в случае одной степени свободы гамильтониан сам является интегралом движения. Исследуем значение еще одного интеграла движения в случае-, когда имеются две степени свободы. [c.17] Рассмотрим теперь более общий случай частицы, движущейся в трехмерном силовом поле. Траектория в фазовом пространстве -однозначно определяется шестью начальными значениями координат фазового пространства и временем. Если движение ограничено, могут существовать определенные фазовые плоскости одной про- странственной координаты и ее канонического импульса, плоскость неоднократно пересекается траекторией. Эту фазовую плоскость Пуанкаре назвал поверхностью сечения. Примером поверхности сечения может служить любая г, р -фазовая плоскость при движении в поле центральных сил. Если существует поверхность сечения. [c.18] Оптическая аналогия. Очевидно, что прямолинейные траектории движущихся частиц подобны лучам света в однородной среде и что многие понятия оптических систем имеют аналоги при фоку- сировке заряженных частиц. Не удивительно, что методы лучевой оптики часто используются в теории фокусировки электронных пучков. И наоборот, определенные методы описания движения частиц, такие, например, как метод, описывающий прохождение частиц через линейные системы, используются в оптике. К тому же Существует полная аналогия между гамильтоновой механикой я геометрической оптикой, хотя хорошо известно, что аналогия ле нашла широкого применения в оптике. Причины этого носят исторический характер. Гамильтонов формализм используется в вопросах теории динамики, аналогичных геометрической оптике. [c.20] Аналогия между гамильтоновой механикой и геометрической оптикой заключается в формальном тождестве между гамильтоновой характеристической функцией и эйконалом. Из этой связи следует, что волновая скорость и обратно пропорциональна импульсу р. Хотя эта аналогия первоначально использовалась, чтобы продемонстрировать связь между классической и волновой механикой см. [101), она также может быть использована, чтобы связать проекцию луча с импульсом. Это проиллюстрировано на рис. 1.6. Прямая линия обозначает луч, определенный как нормаль к фронту волны, а пунктирные линии обозначают фронт волны. Расстояние между фронтами равной фазы — длина волны X, пропорциональная скорости волны и. Из рисунка видно, что длина волны в направлении, отличном от направления распространения волны, меняется обратно пропорционально косинусу угла между ними, так что равно Я/созЭ. Если, однако, мы можем связать проекцию луча с импульсом, тогда проекция импульса р os 0 меняется в. зависимости от угла обратно пропорционально изменению скорости. Далее будет проведена параллель между механикой и геометрической оптикой и показано, что такую связь действительно можно осуществить. Тогда можно использовать в оптике все понятия преобразования фазового пространства. Применим также некоторые простые свойства оптических линз, соответствующие преобразованиям фазового пространства в динамических системах. Хотя будет использовано только несколько примеров из оптики, ясно, что вся теория, развитая в этой работе, годится для решения задач оптики. Методы динамики частиц в оптике будут очень тесно связаны с содержанием гл. 3, где динамические системы близки к оптическим. В статической электронной оптике, в которую время явно не входит, очень полезны оптические аналогии. [c.21] Здесь р I — обобщенный импульс, который для случая, обсуждавшегося ранее, сводится к обычному импульсу. В последующих параграфах мы будем предполагать, что все силы имеют потенциал в этом случае Сг = О и (1.24) сводится к (1.1) — каноническим уравнениям Гамильтона. [c.22] Функции FзИ 4 определяются преобразованиями, сходными с (1.31),. которые ведут к соответствующим уравнениям преобразования. [c.24] Интегральные инварианты. Довольно подробно обсуждены значения инвариантов движения. Теперь мы можем рассмотреть класс инвариантов, называемых интегральными инвариантами Пуанкаре [19]. Как будет показано, эти инварианты тесно связаны с интегралами действия. Содержание этого пункта близко к материалу работы [23]. [c.25] Расписывая определители и требуя, чтобы коэффициенты при членах, таких, как (ддмЮК) (ф /ф), равнялись, бы нулю (А, и выбраны произвольно), получаем — (дРк/др1) = 0. Это выражение удовлетворяется тождественно, если 61 и Р1 определяются из гамильтониана, т. е. [c.27] Это является доказательством со ранемия площади фазового пространства системы частиц, т. е. доказательством теоремы Лиувилля для двух измерений. В следующем параграфе это доказательство будет обобщено на многомерные системы. Для каждой независимой степени свободы соответствующий член в (1.44) должен быть константой, и, таким образом, повторяя наши рассуждения при выводе выражения (1.43), получаем, что интегралы движения существуют для каждой независимой степени свободы. Это подтверждает сделанное во введений утверждение, что для системы, у которой гамильтониан постоянен, каждая независимая степень свободы может быть сведена к квадратурам. [c.27] Вернуться к основной статье