ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Элементы качественной теории динамических систем второго порядка из "Математическая биофизика" Модели типа (1.1) являются простейшими. Можно указать два направления развития и усложнения этих моделей. [c.8] Модели типа (1.1) получили широкое применение в химической кинетике. Модели биологической кинетики , на наш взгляд, имеют ряд существенных отличий. [c.8] В биохимии элементарным процессом является ферментативный акт. Скорость ферментативной реакции зависит от концентрации исходных веществ неполиномиально и в большинстве моделей биохимических процессов правые части системы (1.1) представляют собой комбинации дробных функций. [c.8] Причины, благодаря которым сложное становится более простым, мы обсудим ниже (в 3, 4). Перед этим целесообразно напомнить некоторые математические методы исследования систем кинетических уравнений. [c.9] Мы рассмотрим здесь вкратце математические методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений типа (1.1) ). Правые части кинетических уравнений, как мы уже упоминали,— нелинейные функции динамических переменных, поэтому точное аналитическое решение уравнений можно получить далеко не всегда. В общем случае задача может быть решена лишь приближенно с помощью цифровых или аналоговых машин. Однако для исследования поведения модели не обязательно проводить точный количественный расчет, а можно (и часто даже нужно) ограничиться качественной картиной явлений. [c.9] Отметим, что на пересечении главных изоклин располагаются особые точки. [c.10] Значения р1 и р , полученные из решения уравнения (1.6), определяют характер движения вблизи особых точек исходной нелинейной системы (1.2), если только ни одно из значений р не обращается в нуль. В последнем случае приходится исследовать приближения более высокого порядка. [c.11] рассмотрим возможные комбинации значений / 1,2 и соответствующие типы особых точек. [c.11] Оба корня / 1 2 действительны. При этом могут быть следующие возможности. [c.11] Перейдем теперь от исследования движений вблизи отдельной особой точки к построению траекторий системы на всей фазовой плоскости или в некоторой ее области, ограниченной условиями задачи (например, в положительном квадранте). При этом мы не будем рассматривать все возможные виды фазовых траекторий, а ограничимся теми, которые будут особенно часто встречаться в наших моделях. [c.12] Куда устремляются фазовые траектории из неустойчивых точек Прежде всего, очевидно, в бесконечность или к устойчивым особым точкам. Но, кроме того, в нелинейных автономных системах могут также существовать устойчивые колебательные движения, или автоколебания. На фазовой плоскости этим движениям соответствуют замкнутые траектории, охватывающие точку и называемые предельными циклами. Предельных циклов, окружающих данную точку, может быть несколько, причем устойчивые циклы (к которым изнутри и снаружи стремятся фазовые траектории) чередуются с неустойчивыми. [c.12] В грубой динамической системе 2-го порядка могут существовать стоки и источники фазовых траекторий только в виде особых точек (типа узла или фокуса) и предельных циклов. Существенную роль в построении фазовых портретов играют упоминавшиеся выше сепаратрисы седел. Совокупность сепаратрис и предельных циклов делит фазовую плоскость на элементарные ячейки, внутри которых все траектории ведут себя подобным образом (или, как говорят, они топологически подобны). Таким образом, качественное построение фазового портрета в принципе возможно, если определены особые точки, предельные циклы и сепаратрисы. [c.12] В системах третьего и более высоких порядков поведение фазовых траекторий может быть существенно более сложным. Прежде всего, здесь появляются сложные неустойчивые особые точки типа седло-фокус или седло-узел. Если при этом два корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, а третий положителен, то фазовые траектории, лежащие на некоторой поверхности, проходящей через особую точку, будут стремиться к этой точке, но движение по ним будет абсолютно неустойчиво, так как все траектории вне этой поверхности неограниченно расходятся. При противоположных знаках к (Ке А,1 2 0 А,з 0) траектории из всего пространства сходятся к избранной поверхности, но зато на ней — расходятся от особой точки. [c.13] Другой интересный класс явлений связан с понятием странный аттрактор . Аттрактором называется область фазового пространства, в которую стремятся со временем все траектории (из некоторой конечной или бесконечной области притяжения данного аттрактора). Странный аттрактор отличается от простых аттракторов (устойчивых особых точек и предельных циклов) тем, что все его траектории неустойчивы и с течением времени перемешиваются, оставаясь в пределах области аттрактора. Отметим, что простых аттракторов в этой области не существует. Динамическое поведение системы, обладающей странным аттрактором, представляется непредсказуемым, ква-зистохастическим (см. [6—81). [c.13] Квазистохастическое поведение очень часто наблюдается в различных биологических системах. Как мы покажем в гл. 10, такой режим поведения в моделях может объясняться не только наличием в системе странных аттракторов, но и длительными процессами установления устойчивых состояний. Поскольку любая математическая людель может адекватно описывать биологическую систему лишь на ограниченных интервалах времени, то попытки свести любое стохастическое поведение реальной системы к существованию в ней странных аттракторов представляются бессмысленными. Отчасти по этой причине в нашей книге не слишком много места уделено странным аттракторам,— тем более, что для систем выше третьего порядка они недостаточно изучены. [c.14] Вернуться к основной статье