ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Построение параметрического портрета модели каталитического осциллятора из "Моделирование критических явлений в химической кинетике Издание 2" При построении и анализе моделей автоколебаний возникает ряд математических проблем. Это, прежде всего, вопросы автоматизации на основе ЭВМ поиска предельных циклов, параметрического анализа, построения фазовых портретов и бифуркационных кривых и т. д. Значительное продвижение в этом направлении сделано в работах [38, 39,226,256,401-404,408,510] (см. также обзор [406] и монографии [509,519]). Здесь мы на примере модельного механизма автоколебательной каталитической реакции проиллюстрируем применение общей процедуры построения параметрического портрета динамической системы, развитой в НИВЦ АН СССР [38,401-403,406]. [c.252] Для начала работы алгоритма необходимо найти в системе (П3.2) хотя бы одно ст. с. или предельный цикл. Интегрирование системы (решение задачи Коши) при к2 = 1, к = 0,2, к = 0,0675 дает устойчивое ст. с. с координатами х = 0,0072, у = 0,4884, 5 - 0,4204. [c.254] Первый шаг алгоритма — однопараметрическое исследование ст. с. и циклов с целью найти их простейшие бифуркации. Будем считать параметр к изменяемым (активным), а значения параметров к2 и к зафиксируем в указанных выше значениях. Изучим эволюцию найденного ст. с. при изменении к, анализируя параллельно характер его устойчивости и фиксируя точки бифуркации. [c.254] Однопараметрический анализ предельных циклов начинаем с анализа бифуркации рожденного цикла. При этом определяется, в какую сторону по параметру рождается цикл, характер его устойчивости и асимптотика цикла вблизи бифуркационного значения параметра. Вычисление показывает, что в обеих бифуркационных точках к = и к = к ляпунов-ская величина, определяющая характер бифуркации, положительна, т. е. бифуркация докритическая, а родившийся цикл — неустойчивый (точнее, седловой один мультипликатор расположен внутри единичной окружности. [c.254] Суммируем результаты однопараметрического анализа. [c.255] Здесь и ранее мы пользуемся плоским схематическим изображением фазовых портретов системы (П3.2) в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, ст. с. и циклы всегда устойчивы. [c.255] Перейдем теперь к двупараметрическому анализу, добавив к числу активных параметр к2. На этом этапе необходимо изучить бифуркационное множество коразмерности 1, так как набор бифуркационных линий на плоскости параметров к2,к, и найти все бифуркации коразмерности 2. [c.256] На линии нейтральности ст. с., отвечающей бифуркации рождения цикла, имеются 4 точки, где некоторые неравенства, вьщеляю-щие случаи общего положения в этой бифуркации, превращаются в равенства. По определению, это точки бифуркаций коразмерности 2. Рассмотрим их подробнее. [c.256] Точки А и А2 вьщеляются тем условием, что в них действительная часть критических собственных чисел обращается в нуль, т. е. в момент бифуркации имеются два нулевых собственных числа (с жордановой клеткой). Точки А и А2 разделяют линию нейтральности, формально определенную условием Л14-Л2 = 0(Л1,Л2 — собственные числа), на два участка (рис. П.3.4). Участок, изображенный сплошной линией, отвечает комплексным Х 2, и при пересечении этого участка линии нейтральности происходит рождение (или исчезновение) предельного цикла. Штриховой участок отвечает действительным Л 1,2 и, вообще говоря, бифуркационным не является, однако может содержать отдельные точки бифуркаций коразмерности 2. [c.256] Через точку А ( 42) проходит линия кратности, отвечающая слиянию двух ст. с. Кроме того, точка 41( 42) является концевой для линии петли сепаратрисы седла, отвечающей разрушению предельного цикла через обращение его периода в бесконечность. Таким образом, мы имеем возможность зацепиться еще за 4 бифуркационные линии. [c.256] В точках В и В2 обращается в нуль первая ляпуновская величина. В этих точках мягкий тип бифуркации рождения цикла сменяется на жесткий . Точки В и В2 являются концевыми для линии кратных циклов. [c.256] Вертикальная линия на рис. П.3.4, П.3.5 указывает место, где было проведено однопараметрическое исследование. [c.256] из найденных при однопараметрическом анализе точек восстановлена линия нейтральности и линия кратных циклов (рис. П.3.4). Линия нейтральности замкнута, она содержит 4 точки бифуркаций коразмерности 2 А, А2, В ,В2. Линия кратности циклов смыкается с линией нейтральности в точках В и Б2, других бифуркационных точек на ней нет. [c.257] Восстановим линии кратности, проходящие через точки А и А2. Снова оказывается, что точки А и А2 лежат на одной линии кратности (рис. П.3.5) и на ней имеются еще пять точек бифуркаций коразмерности 2. [c.257] Точка Е (точка возврата, уголок на линии кратности) определяется условием трехкратности стационарного состояния (в отличие от двухкратности во всех остальных точках этой линии). Заметим, что внутри угла, образованного линией кратности, имеется три ст. с. все они сливаются в точке Е. [c.257] Связное множество бифуркационных линий па плоскости параметров А 2 и А , таким образом, полностью восстановлено. [c.257] При этом найдены 10 точек бифуркаций коразмерности 2. Имеется также ряд бифуркаций коразмерности 1 + 1 , на которых мы подробно не останавливаемся. Полное разбиение плоскости параметров на области однотипного поведения достигается наложением всех найденных бифуркационных линий (рис. П.3.6). Набор соответствующих этим областям фазовых портретов (рис. П.3.7) получается из анализа бифуркаций, происходящих на линиях и в окрестности точек коразмерности 2, а также соображений непрерывности. [c.257] Эта бифуркация также характеризуется стремлением периода цикла к бесконечности, однако значительно более быстрым, чем в случае петли седла в первом случае асимптотика периода корневая, во втором — логарифмическая. [c.257] Преимущество этого подхода, как уже говорилось, состоит в том, что при переходе в фазово-параметрическое пространство исчезают многие геометрические особенности (точки возврата, самопересечения и т. п.), характерные для бифуркационных линий (рис. П.3.6). С другой стороны, изучая семейства в фазово-параметрическом пространстве, мы часто не подозреваем о существовании этих особенностей например, точка самопересечения на линии нейтральности (рис. П.3.4) замечается лишь тогда, когда эта линия полностью изображена на плоскости параметров. [c.258] Это есть бифуркационная точка коразмерности 1 + 1 . [c.258] Вернуться к основной статье