ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Классификация точек спектра замкнутого линейного оператора из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Пусть Т есть замкнутый линейный оператор с областью определения плотной в гильбертовом пространстве //. [c.17] Из (1) следует, что точки регулярного типа образуют некоторое открытое множество [7], Это множество П(Г) называется полем регулярности оператора Т, Из замкнутости оператора Т и неравенства (1) следует, что для любой точки Х П(Г) многообразие (Г — Х/) у, замкнуто, то есть является подпространством. [c.17] Если при данном X из П(Г) имеет место равенство (Г — X/) т = //, то X называется точкой регулярности оператора Т. Совокупность всех точек регулярности оператора Т называется его резольвентным множеством. Это множество также открыто [7]. [c.17] Дополнение 8(Г) резольвентного множества до всей комплексной плоскости называется спектром оператора Т. [c.17] Спектр замкнутого линейного оператора есть замкнутое множество. [c.18] Дискретным спектром (или дискретной частью спектра) оператора Т называется множество 0 ) его соб ственных значений. Множество всех собственных векторов, соответствующих данному значению Х Л(Г), является подпространством. Оно 2iШв2Lг l 9[ собственным подпространством, а его размерность данного собственного значения. [c.18] При определении числа точек множества О (Г), лежащих в данной области, каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность. [c.18] Размерность корневого многообразия, соответствующего данному значению Х Д(Г), будем называть рангом собственного значения X. Так как собственное подпространство есть часть корневого многообразия, то кратность каждого собственного значения не превосходит его ранга. [c.18] Корневое подпространство О называется отделимым, если существует инвариантное относительно оператора Т подпространство Р, в котором он непрерывно обратим и которое в прямой сумме с О дает все пространство Н. [c.18] Множество С (Г) также называют предельным спектром или спектром сгущения оператора Г при этом непрерывным спектром называют часть множества С (Г), остающуюся после удаления из него собственных значений оператора Г. Ниже будет показано, что множество С Т) замкнуто. [c.19] Остаточным спектром (или остаточной частью спектра) оператора Т называется множество О (Г) значений X, для которых замыкание многообразия (Г — кГ) не совпадает с Я и которые не принадлежат 0 Т). Таким образом, остаточный спектр О (Г) есть множество всех тех точек из 0(7 ), которые не принадлежат 0(Т). [c.19] Очевидно, каждое из множеств 0(Т), С (Т) и О (Г) принадлежит спектру 5 (Т) оператора Т. Покажем, что, обратно, каждая точка множества 5 (Г) принадлежит по крайней мере одному из множеств О (Г), С (Т) или 0 Т). [c.19] При этом слагаемые в правой части последнего равенства могут пересекаться. В частности, собственные значения бесконечной кратности всегда принадлежат непрерывной части спектра. [c.19] Доказательство. Достаточно установить, что дополнение С (Г) до всей плоскости открыто. [c.20] Многообразие F плотно в Я О (см. далее п б). [c.20] Элемент ср являлся бы собственным вектором оператора 7, соответствующим собственному значению Xq, и при этом было бы ср J G, что противоречит определению G. [c.20] Действительно, предположив противное, найдем некомпактную нормированную последовательность которой имеет место предельное соотношение (3). [c.21] Переходя ко второй части теоремы, установим ограниченность оператора / = (Г — Х/) С этой целью продолжим линейно на все пространство Н замкнутый оператор R с областью определения А = (Г — X/) 35 ., полагая / равным нулю на ортогональном дополнении к А. Полученный оператор / , будучи замкнутым линейным оператором, определенным на всем пространстве, по теореме С. Банаха [9] является ограниченным, откуда следует ограниченность оператора / . [c.22] В некоторых специальных вопросах (см. п° 65) приходится в непрерывном спектре С (А) самосопряженного оператора А выделять так называемую абсолютно непрерывную часть спектра, которая определяется следующим образом [55]. [c.22] Множество элементов g H, для которых неубывающая функция Exg, g) абсолютно непрерывна, образует некоторое подпространство Н А), инвариантное относительно А [80]. Часть А(2 оператора Л, действующая в Н А), называется абсолютно непрерывной частью оператора Л, а спектр 8 А( ) этого оператора А называется абсолютно непре-рывной частью спектра оператора Л. Очевидно, 5(Л(.)с С1С(Л). Отметим, что подпространство (Л) = Я (Л) состоит из всех тех элементов g H, для которых функция ( х . g) сингулярна. Часть А оператора Л, действующую в Н А), естественно называть сингулярной частью оператора Л, а ее спектр (Л ,) — сингулярной частью спектра оператора Л. Очевидно О (Л) с 5 (Л ). [c.22] Вернуться к основной статье