ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Относительная полная непрерывность симметрических операторов из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" При ЭТОМ наибольшее значение а постоянной 7, при котором неравенство (16) еще выполняется для всех / 5D . [c.33] ТО неотрицательный оператор А будем называть положительным. [c.34] Определяемая формулой (17) Л метрика превращает фд в некоторое (вообще говоря, неполное) гильбертово пространство. [c.34] Если оператор А является положительно определенным, то Л метрика превращает Фд в такую линейную метризо-. [c.34] Если при данном [х оператор А- 1 положительный, но не положительно определенный, то Л метрика, соответствующая этому значению [х, вообще говоря, не эквивалентна Л-метрикам и замыкание 55д в Л метрике за счет элементов пространства Я может оказаться невозможным. [c.35] Вместе с терминами Л- и А— метрика имеют очевидный смысл термины Л- и Л сходимость. Л- и Л ограниченность, Л- и Л — плотность и т. д. [c.35] Если оператор К положителен, то полная непрерывность К относительно А эквивалентна компактности в /С метрике любого множества из 3)д, ограниченного в Л-метрике. Это вытекает из следующей простой теоремы. [c.36] Теорема 16 [13(5)]. Для того чтобы положительный оператор К был вполне непрерывным относительно положительно определенного оператора Л( д. = д), необходимо и достаточно, чтобы любое А-ограничен-ное множество элементов из 2)д было К-компактным. [c.36] Пусть теперь, обратно, любое Л-ограниченное множество элементов из 2)д является К— компактным. [c.36] Следующая теорема, в которой положительность оператора К не предполагается, дает удобный для приложений признак относительной полной непрерывности. Она показывает, что наличие положительной мажоранты оператора АГ, вполне непрерывной относительно Л, влечет полную непрерывность самого оператора К относительно Л. [c.37] Теперь надо установить, что из полной непрерывности в Яд самосопряженного оператора и неравенства (23) вытекает полная непрерывность в Яд самосопряженного оператора Т. [c.38] Для окончания доказательства остается установить полную непрерывность в Яд операторов ТР и TQ. [c.38] Из полученного неравенства (25) и ранее установленной полной непрерывности в Яд оператора УРТ Р следует полная непрерывность в Яд оператора У РТР, а вместе с ним и оператора РТР = ТР. [c.38] Из аналогичного рассуждения следует полная непрерывность в Яд оператора QTQ = TQ, так что, согласно (24), оператор Т вполне непрерывен в Яд и теорема доказана. [c.38] В заключение установим лемму, используемую далее в п° 5. [c.38] Вернуться к основной статье