ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Об индексе дефекта дифференциальных операторов в частных производных из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" При 2 = легко построить примеры, когда дефектное число принимает крайние значения, указываемые неравенством (16), но примеры, когда 0 Def oo, не известны. [c.89] Ниже приводятся два признака равенства нулю дефектного числа оператора . Первый из них (теорема 34) принадлежит Т. Карлеману и К. Фридрихсу, а второй (теорема 35) впервые установлен А. Я. Повзнером. [c.89] Следующая лемма установлена в [23(1)]. Приводимое ниже доказательство этой леммы принадлежит в основном Ф. С. Рофе-Бекетову. [c.89] ЧТО противоречит принадлежности функции и (Р) пространству бо, очевидно. [c.91] Теорема 34 [47]. Если потенциал д Р) ограничен снизу, то дефектные числа соответствующего опера-тора I равны нулю, то есть 1 = 1. [c.91] Из полученного неравенства (24) вытекает существование последовательности / - оо, для которой имеет место предельное соотношение (22), что и требовалось установить. [c.92] Как заметил Ф. С. Рофе-Бекетов, лемма 9, а значит, и теорема 34, при определенных ограничениях относительно вида границы и краевых условий переносится на случай 2 . [c.93] Следующее предложение, высказанное в качестве предположения автором и впервые установленное А. Я. Повзнером (см. [81]), показывает, что теорема 34 остается справедливой при замене требования ограниченности снизу потенциала менее ограничительным предположением об ограниченности снизу оператора . Приводимое ниже доказательство этого предложения принадлежит Е. Вингольцу [22]. [c.95] Теорема 35 [81]. Если оператор определяемый операцией (1) в 2 ) ограничен снизу, то он самосопряжен. [c.95] Если теперь предположить, что решение у(Р) принадлежит 2( ) ГО полученного неравенства (38) при / - схэ следует у(Р) = 0 и теорема доказана. [c.96] Другое обобщение теоремы 34 на случай потенциалов д(Р). ограниченных снизу функцией [ (г), стремящейся не слишком быстро к минус бесконечности при г - оо, принадлежит Д. Сиерсу [87]. [c.96] Вернуться к основной статье