ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые спектральные свойства -самосопряженных расширений -симметрических операторов с конечным дефектным числом из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Приведем без доказательства формулировку двух таких общих теорем и другие необходимые сведения из теории линейных уравнений в нормированных пространствах. Эти сведения и доказательство дальнейших теорем 41 и 42 легко найти в цитированной выше фундаментальной статье М. Г. Крейна и И. Ц. Гохберга ([36], теоремы 3.3 и 4.2). [c.123] Пусть Т есть Произвольный замкнутый линейный оператор в //, й Ф(Т ) — множество всех точек Х-плоскости, в которых характеристика оператора Т — X/ конечна и многообразие (Г— Х/)2)у. замкнуто. Множество Ф (Г) является открытым и, следовательно, состоит из конечного или счетного числа связных компонент. [c.123] Следующая теорема показывает, что хотя всегда кратность собственного значения не превосходит его ранга, но при некоторых условиях из конечности кратности собственного значения следует конечность его ранга. [c.124] Таким образом, утверждение 2 также доказано. [c.125] в силу включения (14), утверждение 3 без утверждения (12) непосредственно следует из теоремы 44. [c.125] Доказательство независимости подпространств Ох и Н О не представляет затруднений, если заимствовать соответствующие рассуждения из линейной алгебры (см. [65]). [c.125] Теперь утверждение 3 установлено и теорема доказана полностью. [c.126] Построение минимального У-симметрического оператора Ь проводится аналогично симметрическому случаю. [c.126] В дальнейшем используется следующий признак У-самосопряженности, соответствующий в случае вещественного потенциала теореме 34. [c.126] Теорема 46. Если в (15) или (16) вещественная часть потенциала ограничена снизу, то соответствующий минимальный оператор L является З-самосопря-женным. [c.126] Доказательство. Не ограничивая общности, считаем вещественную часть потенциала положительной. [c.126] Что касается применения метода расщепления, то в одномерном случае никаких осложнений не возникает, так как дефектное число т будет конечным (оно удовлетворяет тем же неравенствам, что и в симметрическом случае [31 (8)]. Для многомерной операции (16) следует заново обосновать принцип расщепления, установленный в п° 17 для случая вещественного потенциала. [c.128] Вернуться к основной статье