ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Спектральная альтернатива для полуограниченных операторов Шредингера из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Если теперь выбрать точку расщепления так, чтобы при X 7 было (х) 80 8, то из (70), пользуясь теоремой 7 п° 3, заключаем, что точка XQ не принадлежит непрерывной части спектра оператора, определяемого операцией (68) на полуоси что абсурдно, так как непрерывная часть спектра этого оператора покрывает всю полуось Х 0. [c.164] При условии (69) множество С ( ) не пусто. [c.164] Полагая в (69) Ж = О, получаем следующий результат, который также непосредственно вытекает из теоремы 23 п°8. [c.164] При п= теорема 18 установлена впервые в [101]. [c.165] Теорема 19 допускает некоторое уточнение, состоящее в том, что в (71) можно считать точку х принадлежащей некоторому множеству, составляющему часть полуоси х 0. Для этого уточнения и доказательства некоторых дальнейших теорем используется система пробных функций, получаемая с помощью следующего построения. [c.165] Опираясь на общую теорему 9 п°3 и используя пробную систему функций (72), получаем следующий результат, содержащий теоремы 17, 18 и 19. [c.166] Следующие три теоремы дают интегральные признаки непрерывности положительной части спектра. [c.166] следовательно, К С(1), что и требовалось установить. [c.171] Следующий критерий компактности М. Ш. Бирмана, по существу, уже встречался ранее, при доказательстве теорем 3 и 4. [c.171] При доказательстве следующей теоремы М. Ш. Бирмана используется лишь достаточность установленного выше критерия полной непрерывности оператора вложения //д в 2(0, оо). [c.173] Теорема 26 [79(4)]. Если оператор Ь, определяемый операцией (91), к-устойчиво положителен, то непрерывная часть его спектра либо отсутствует, либо не ограничена сверху в последнем случае длина лакуны в С 1) с центром в точке X при X— оо не превосходит О Y х). [c.174] Следующая теорема показывает, что в том случае, когда точка Х = 0 принадлежит непрерывной части спектра /г-устой-чиво положительного оператора Шредингера, непрерывная часть спектра этого оператора покрывает сплошь всю полуось Х О. [c.176] Теорема 27 [79(4)]. Если оператор определяемый операцией (91), h-устойчиво положителен, то либо точка Х = 0 не принадлежит непрерывной части его спектра, либо непрерывная часть спектра L) покрывает всю полуось Х 0. [c.176] Таким образом устанавливается спектральная альтернатива для операции (1) при любом п. [c.177] Вернуться к основной статье