ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теорема М. Г. Крейна о мультипликативной структуре положительных дифференциальных операторов из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Если при всех х 0 выполнено (42), то из представления (41) непосредственно вытекает положительность оператора Ь. М. Г. Крейн установил [53 (1)] обратное предложение если оператор Ь положителен, то существует система п линейно независимых попарно сопряженных решений уравнения (36), для которой условие (42) выполнено при всех х О, так что мультипликативное представление (41) также имеет место при всех 0. Ниже приводится доказательство этой теоремы, а также доказательство М. Г. Крейна теоремы Фробениуса. Переход от конечного интервала, рассматривавшегося в [53(1)], к полуоси 0 почти не требует внесения в [53(1)] каких-либо изменений. [c.214] при х а выполнено условие (42) (в [3] показано, что нули вронскиана т не имеют конечных предельных точек). [c.215] Теперь покажем, что представление (46) совпадает с искомым представлением (41). [c.215] ТО старшие коэффициенты операций т[у] и (—1) / оР [) ] одинаковы. [c.216] Ее нетрудно также вывести с помощью предельного перехода непосредственно из позитивности ядра К (х, з), минуя разложение (51), но из (54) легко следует, что форма (53) не только положительна, но и положительно определена. [c.217] Таким образом, неравенство (61) выполнено при всех положительных значениях х, меньших z, и в частности при х = Xq. Теорема доказана полностью. [c.219] Из теорем 11 и 12 вытекает следующее предложение о мультипликативной структуре положительных дифференциальных операторов, упомянутое в п°40. [c.219] Теорема 13 [99]. Если вронскиан некоторой системы п линейно независимых и попарно сопряженных решений уравнения (36) в некотором интервале [а, р] имеет п нулей, то вронскиан любой другой системы п попарно сопряженных решений этого уравнения имеет в этом интервале по крайней мере один нуль. [c.219] Вернуться к основной статье