ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Характер непрерывной части спектра в зависимости от поведения потенциала и вида бесконечной области из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Из полученного неравенства, в силу произвольности величин О и 8 О, следует первое утверждение теоремы. Второе утверждение теоремы непосредственно вытекает из первого. [c.242] Как и в одномерном случае, для оператора I в JS 2Фn имеют место следующие альтернативы. [c.244] При тех же условиях точка Х = 0 либо не принадлежит С Е), либо [О, оо)сС(1). [c.244] Доказательство обеих утверждений не отличается от приведенного в п°32. [c.244] Для случая лапласиана имеет место следующая альтернатива. [c.244] Далее выберем число а настолько большим, чтобы плоскость z = а делила Q на ограниченную часть ш и бесконечную цилиндрическую часть 2 . [c.246] Если собственное значение X оператора —А в принадлежит первому из интервалов системы (37), то X а . [c.247] Переходя таким образом от каждого интервала системы (37) к следующему, получим полное доказательство теоремы. [c.249] Следующая теорема, принадлежащая Ф. Реллиху, показывает, что при некоторых ограничениях на вид границы квазиконической области непрерывная часть спектра лапласиана не несет на себе собственных значений. К таким областям относится, например, часть пространства, заключенная внутри эллиптического параболоида. [c.249] Для доказательства теоремы достаточно установить, что при А -0 уравнение (43) не имеет в з(2) решения и Р), равного нз лю на 5 и отличного от тождественного нуля в 2. [c.249] И теперь требуемое неравенство (46) следует из (50). [c.252] Като удалось найти подобную неравенству (46) оценку для случая оператора Шредингера с потенциалом q P)=i = о( ОР ) и тем самым установить для таких операторов отсутствие собственных значений на непрерывной части спектра (см. п° 65). [c.252] Вернуться к основной статье