ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теорема Хартмана — Патнама о лакунах в спектре операторов с ограниченным потенциалом из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Согласно теореме 17 п°31 длина любой лакуны в ( ) не превосходит Л1, но в действительности, подобно тому как это было в случае операции Хилла, длина лакун в С (Ь), далеких от точки Х = 0, при некоторых дополнительных ограничениях на потенциал становится сколь угодно малой. Соответствующие тонкие результаты принадлежат Хартману и Патнаму [103(2)]. [c.287] Приводимая ниже теорема является одним из результатов этих авторов. [c.288] Теорема 8 [103(2)]. Если функция д х) ограничена и равномерно непрерывна на полуоси л О, то длина лакуны в С ( ), расположенной правее точки X, стремится к нулю при X— -оо. [c.288] В полученном представлении существенна однородность множителя при д х). Она позволяет в дальнейших оценках при возрастании t не следить под знаком интеграла в (69), за одним и тем же решением у х X), а в каждом интервале ( Л +1) заменять у х X) любым другим решением у х X) уравнения (31), удовлетворяющим условию Уk x Х)==0. [c.289] Если после этого перейти к пределу при оо, то четвертое слагаемое в фигурных скобках в силу (83) стремится к нулю. Таким образом, сколь мало бы ни было число е О, при всех значениях X, больших некоторого Х , имеет место предельное соотношение (68), и теорема доказана полностью. [c.292] Остается, однако, неясным, будет ли приводить к дальнейшему понижению верхней грани длин лакун предположение о равномерной ограниченности дальнейших производных от потенциала, подобно тому как это имело место для периодических потенциалов. С другой стороны, нет уверенности в том, что требование равномерной непрерывности потенциала существенно для справедливости теоремы 8. [c.293] В своей электронной теории металлов [44] Зоммерфельд и Бете для случая периодического потенциала аргументируют убывание лакун в непрерывном спектре энергии тем, что при возрастании полной энергии Х- оо все незначительнее должно сказываться влияние ограниченной потенциальной энергии д (х), так что частица в своем поведении должна приближаться к свободной. Представляет интерес проверка этой аргументации для любого ограничен ного потенциала. [c.293] Вернуться к основной статье