ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы О структуре непрерывной части спектра оператора Шредингера из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Отсюда, в частности, вытекает, что соответствующий оператор L в 2( ) непрерывная часть спектра которого совпадает с полуосью Х О, не может иметь положительных собственных значений при условии (45). Это же верно для внешности любой ограниченной области и для комплекснозначных потенциалов. Исследования Т. Като основаны на сложных интегро-дифференциальных неравенствах, но более простое доказательство отсутствия точек из D L) на С ( ) не известно. [c.316] В противоположность этому, абсолютно непрерывная часть спектра, которая не устойчива и может даже полностью исчезнуть в условиях теоремы Вейля — Неймана, оказывается инвариантной при более слабых возмущениях. Соответствующий результат был получен в 1957 г. М. Розен-блюмом [85] и Т. Като [48(2)]. [c.317] Теоремой Розенблюма — Като устанавливается, что при возмущении самосопряженного оператора Л вполне непрерывным оператором с конечным абсолютным следом, абсолютно непрерывная часть оператора Л сохраняется с точностью до унитарной эквивалентности. Эта теорема является существенным обобщением теоремы Г. Вейля о сохранении непрерывной части спектра при вполне непрерывных возмущениях. Теорема Розенблюма — Като тесно связана с вопросом существования операторов рассеяния, введенных в квантовую механику В. Гейзенбергом. [c.317] При использовании теоремы Розенблюма — Като в теории сингулярных дифференциальных операторов приходится переходить от самих операторов к их резольвентам или степеням резольвент. [c.317] Аналогичная картина имела место при первых применениях в теории сингулярных дифференциальных операторов самой теоремы Г. Вейля. Так, например, А. Я. Повзнер в [81] для доказательства инвариантности непрерывной части спектра оператора Шредингера (1) вне замкнутой поверхности при деформации этой поверхности исследовал разность резольвентных ядер соответствующих краевых задач. [c.317] Рассмотрим задачу о возмущении границы и краевых условий на ней, рассмотренной на основе теоремы Розенблюма — Като М. Ш. Бирманом [13(10)] для оператора Шредингера (1). [c.317] Пусть 0 есть результат расщепления L на поверхности у. Тогда оба оператора и Ж суть положительно определенные самосопряженные расширения оператора д, причем Ж есть расширение д по Фридрихсу. [c.318] При т = 2 отсюда сразу следует, что оператор К имеет конечный абсолютный след, и поэтому абсолютно непрерывные части операторов и М унитарно эквивалентны. [c.319] При т 2 аналогичный результат достигается рассмотрением оператора — М при достаточно большом натуральном р. [c.319] Нетрудно учесть также влияние изменения самого краевого условия вида (46). Тем же путем может быть рассмотрена операция (1), вырождающаяся на части границы, и другие подобные задачи. [c.319] Следует, однако, заметить, что в задаче рассеяния для операции (1) и в других близких задачах применение теоремы Розенблюма — Като не дало пока ничего нового по сравнению с результатами, полученными ранее методом А. Я. Повзнера. [c.319] Заканчивая краткий обзор работ по исследованию структуры непрерывного спектра, следует отметить, что в этой области еще не разработаны достаточно сильные общие методы качественного анализа. Здесь имеется ряд конкретных нерешенных задач. В частности, остается открытым вопрос о существовании сингулярной части спектра и о наличии собственных значений на непрерывной части спектра у оператора энергии атома гелия (40). [c.319] Вернуться к основной статье