ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Качественные свойства схем первого порядка точности из "Численное моделирование процессов тепло- и массообмена" Пусть Ат 1, Предположим, чтоИт О, т = 0, 1,. .М. Из (3.4.3) следует, что ит+ Одля всех т, кроме. от = О и то = АГ. По предположению 0. Значепие следует определить с помощью дополнительного сеточного граничного условия (см. п. 3.2.5) если оно позитивно (например, схема уголок ), то u O. [c.71] Свойство позитивности является естественным и очевидным для дифференциального уравнения (3.1.1). Что касается сеточных аппроксимаций, то позитивными могут быть только схемы первого порядка точности (теорема Годунова). Примеры нарушения позитивности для некоторых схем второго порядка точности будут приведены в 3.5. [c.71] Примеры, показывающие, что для схем второго порядка точности свойство монотонности может не выполняться, будут приведены в . 3.5. [c.72] Для дифференциального уравнения (3.1.1) множитель перехода, характеризующий изменение решения за один временной шаг, есть Я = ехр (—гасот). Для схемы явный уголок (3.2.1) множитель перехода есть Ял = (1 —/с) + + к ехр i—ia), а = ah. Сравним h и 1X1 = 1. В табл. 3.1 приведены значения lljJ для двух значений к н нескольких значений а. [c.72] Из данных таблицы следует, что для схемы (3.2.1) амплитуды гармонических по х колебаний со временем уменьшаются прп этом высокочастотные колебания дис-сипируют быстрее низкочастотпых, что и приводит к сглаживанию решения. [c.72] Условие устойчивости схемы /с 1 обеспечивает неотрицательность V. [c.74] Для всех рассмотренных выше схем ПДП является параболическим уравнением. Его диссипативные свойства связаны с членом vd uldx -, это слагаемое называют ап-проксимационной или схемной вязкостью. Мы будем также пользоваться термином вязкость аппроксимации,. [c.74] Предполагая, что диссипативные свойства схемы моделируются первым дифференциальным приближением, можно высказывать, предположительные суждения о свойствах схемы на основании свойств ее аппроксимационной вязкости. [c.74] для схемы явный уголок из (3.4.6) следует, что диссипативные эффекты должны сильнее проявляться при малых значениях числа Куранта к. Сравнив (3.4.7) с (3.4.6) ц (3.4.8), можно заключить, что при одном и том ке значении к схема неявный левый уголок обладает более сильным диссипативным действием, чем явный уголок или неявный правый уголок . [c.74] 9) выводим, что при умеренных и особенно при малых значениях числа Куранта схема Лакса должна весьма сильно сглаживать решение. Так, уже при к = 0,5 коэффициент V для нее в три раза больше, чем для схемы явный уголок . [c.74] Подобные суждения достаточно хорошо подтверждаются в численных экспериментах. [c.74] Для фиксированного t решение этой задачи есть кусочнопостоянная фзшкция х и —О, если x i и = 1, если x t. Численно задача решалась с помощью схемы явный уголок и схемы Лакса на сетке с шагами А = 0,005 и т = 0,0025 (А = 0,5). Результаты расчетов выборочно приведены в табл. 3.2 и 3.3 для t = 0,05. Во второй строке каждой таблицы указаны значения точного решения для соответствующего ПДП. Мы видим, что ПДП неплохо описывает численные решения. Видно также, что размытие разрыва для схемы Лакса заметно больше, чем для явного уголка . [c.74] Вернуться к основной статье