ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Достаточные условия устойчивости продельных состояний популяции из "Основы математической генетики" В этой главе мы покажем, как даже простые модели, описывающие наиболее элементарные популяционно-гене-тические процессы, позволяют прийти к выводам, интересным своей биологической наглядностью. Простые модели хороши еще тем, что их легко проверить экспериментально. А это позволяет ясно увидеть их достоинства п недостатки п оценить степень применимости математических методов, используемых для описания популяцион-но-генетических процессов. Сложную модель большой общности трудно применить к конкретной биологической ситуации. Возникающие при этом Д1атематические сложности могут совершенно заслонить первоначальное биологическое происхождение задачи, и основной целью исследования станет их преодоление. [c.78] Здесь мы расслютрим один из наиболее простых объектов, встречающихся в популяционной генетике достаточно большую панмиктическую популяцию организмов, наследование некоторого признака в которой определяется одним двухаллельным геном. Популяция считается бесполой , т. е. оба пола равноправны и в наследовании, и в отборе. [c.78] Если обозначить аллели через Л и а, то популяция будет содержать только три генотипические группы АА, Аа и аа. Описание динамики численности этих групп в зависимости от их демографических функций и будет нашей задачей. Иногда же для описания эволюции будет достаточно динамики численностей двух аллелей либо даже одного. [c.78] Одпны из наиболее интересных стационарных состоянии популяцпп является состояние, в котором устойчиво сосуществуют все три генотипа — генетический полиморфизм. На языке аллелей это означает, что в популяции присутствуют оба аллеля А и а. [c.80] Уравнение (3.4) имеет единственный корень X, удовлетворяющий одному из условий (3.6). Докажем это. [c.82] Очевидно, что /(Я1) = 0. С другой стороны, прп Я Яз /(Я) - - + оо так как из монотонности о) (Я) следует, что мДЯг) мДЯ ) = 1 и, кроме того, мз(Я2) 1. Поскольку /(Я) непрерывна на [Я1, Яг) и, как легко проверить, монотонно возрастает на [Я Яг), то существует только одна точка Я, в которой /(Я ) = 1. А это означает, что выполняется равенство (3.4). Аналогично рассматривается и случай Яг Яь Яз. [c.82] Для простоты мы будем рассматривать бесконечный репродуктивный промежуток с началом в нуле. Можно показать, что все дальнейшие рассуждения справедливы и для произвольного репродуктивного промежутка [а, Ъ. [c.84] определяемые начальными распределениями 1 х), где к = 1, 2 —номера двух различных распределений. Заметим, что в случае конечного репродуктивного промежутка [а, Ь] 1) = О при 1 Ъ ж, следовательно, интегралы (4.3) заведомо сходятся. [c.85] Для 6 , очевидно, имеют место неравенства 0з 01 О 02. Рассмотрим А(г) на интервале [01, 0г]. Поскольку О) z) 1 при z 02, то на этом интервале А(г) будет матрицей с положительными монотонно убываюш ими элементами. [c.87] Здесь и —левый верхний элемент матрицы А. Тогда, ио известному свойству матриц с положительными элементами ), корень Перрона г[А(01)] 1. С другой стороны, непосредственным вычислением показывается, что г[А(02)] 1. Следовательно, согласно известной теореме ), на отрезке [01, 02 существует действительное число 0 такое, что г[А(0 )] = 1, откуда А(0 ) = О. [c.87] В состоянии полиморфизма р, д =0, а поскольку 6 = = О — корень уравнения (4.5), то и А(6 = 0) = О, что и требовалось доказать. [c.88] Заметим, что 0 1 — Шз (0) 1 и д,Мйг) г=о О-Функция (](Й - О при i- ОО, и, следовательно, начиная с некоторого момента Г, т) ( ) С 7 для всех 1 1. [c.89] Аналогичное представление имеет место и для и езШ. [c.89] Сформулируем теперь основное утверждение этого параграфа, доказанное нами выше. [c.89] Пусть .1 .3 .2 и соответственно 01 9з О 62, т е. 02 и пара 01 и 0з находятся по разные стороны от нуля. Тогда А(01)А(0з) О и, в силу непрерывности А(г), должен суш,ествовать корень 0 такой, что О 0з 0 01. В этом случае заведомо е ( ) оо при 1- т. е. состояние полиморфизма неустойчиво. Аналогичное утверждение имеет место и при ,3 XI Хг. Таким образом, второе альтернативное (из необходимых) условие существование полиморфизма (условие (3.9)) соответствует на самом деле состоянию неустойчивого полиморфизма. [c.89] Вернуться к основной статье