ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Прямое и обратное уравнения Колмогорова из "Основы математической генетики" Настоящий параграф посвящен описанию уравнений для решения ряда рассмотренных выше задач. Строгое изложение этих вопросов довольно громоздко и предъявляет повышенные требования к математической подготовке читателя. В то же время понимания того, почему нспользутотся те плп иные уравнения, можно достичь гораздо проще, полгьзуясь эвристическими рассуждениями. [c.320] Отсюда видно, что F = а и М представляют o6oii дисперсию и среднее значение приращения процесса за единицу времени и называются коэффициентами диффузии и сноса соответственно. В дальнейшем будем предполагать, что функции М и V ограничены, обладают достаточной гладкостью, причем V не обраш ается в нуль внутри 2. [c.321] Таким образом, функции и(х) оператор ставит в соответствие функцию, равную среднему приращению и(х) на траекториях процесса за единицу времени. В область определения оператора входят все функции и, для которых математическое ожидание (3.4) конечно. Устремим б к нулю. В пределе время изменяется непрерывно, можно полагать, что и сам процесс сходится к предельному с непрерывными траекториями, соответствующий предел производящего оператора обозначим через si-. [c.321] В детерминистском случае для дифференциального уравнения dx/dt = Mix), очевидно, s u Mix)du/dx. [c.321] Здесь интегрирование производится по всему пространству состояний. Уравнение отражает тот простой факт, что для достижения состояния х в момент 1 + г траектория может в момент т пройти через одно из состояний у с плотностью вероятности f p, у, т), а затем из у нонасть в X за время I (независимо от того, каким путем траектория нопа.ла в состояние у) с п.лотпостью /(г/, х, 1). [c.322] Поскольку усреднение функции и может только повысить гладкость, то функция II будет дважды непрерывно дифференцируема. [c.323] Уравнение (3.11) называется обратным или вторым) уравнением Колмогорова. [c.323] 11) независимая переменная обозначена через р, подчеркивая, что математическое ожидание 7 является функцией начального состояния р. [c.323] В качестве функции и можно взять ступеньку единичной высоты над интервалом а, Ь) (О, 1) (которая является пределом гладких ступенек ). Тогда ее математическое ожидание представляет собой вероятность пребывания процесса в (а, Ь). Таким образом, вероятности попадания процесса в заданный интервал удовлетворяют уравнению (3.11). [c.323] Если рассматривать плотность вероятности /(р, х, t) как функцию времени и начального состояния р, то для нее также выполняется уравнение (3.11). Действительно, илотность р, X, ) мончио полагать равной математическому ожиданию дельта-функции д х) = б х — у). [c.323] В частности, если в качестве v x) взять Ых — р), то уравнению (3.15) (называемому прямым уравнением Колмогорова) удовлетворяет плотность jip, х, i) — фундаментальное решение (3.15). [c.325] Вернуться к основной статье