ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Классификация границ в диффузионных моделях из "Основы математической генетики" Модель предполагает, что изменения частот гамет в течение жизни поколения под действием различных эволюционных факторов можно описать детерминистски. Генетический состав нового поколения определяется размножением, описываемым случайным выбором с возвращением гамет индивидуумов предыдущего поколения. Количество выбранных гамет соответствует размеру популяции N. Допущение о схеме выбора гамет с возвращением оправдано тем обстоятельством, что количество фактически или потенциально воспроизводимых индивидуумами в течение жизни половых клеток чрезвычайно велико и затраты гамет на кансдого потомка практически не влияют на вероятности последующих извлечений гамет. [c.326] Аналогично обосновывается переход к диффузионному процессу и для модели с перекрывающимися поколениями Морана. В ее простейшем варианте рассматривается гаплоидная популяция постоянного размера N с двумя аллелями А и а. В единицу времени происходит одно событие рождения-гибели. Вероятность гибели аллелей А или а иронорциональна их концентрации в нонуляции. Событие рождения можно интерпретировать как результат выбора одной гаметы из гаметофонда, сформированного к моменту, предшествующему гибели. [c.327] В дальнейшем интерпретация выводов диффузионного подхода будет предполагать аппроксимацию модели Райта — Фишера, хотя в соответствуюш ей шкале времени оии верны и для модели Морана ири перекрываюш их-ся поколениях. [c.328] Далее мы пе будем делать различий в обозначениях для размера популяции и ее эффективного размера, подразумевая, что необходимые коррекции произведены и символ N относится к дпснерсионному эффективному размеру. [c.329] Отметим также, что сходимость к одномерному диффузионному процессу имеет место и для двуполой популяции, состоянпе которой, вообще говоря, определяется численностями и частотами аллелей отдельно для самцов и самок, т. е. поведение средних генных концентраций не является макровским. [c.329] Если и ) 1 и / з интегрируемы, а интеграл от Rz в окрестности границы равен + , то граница является захватывающей. В противном случае она будет выпускающей. [c.330] Аналитическим условием существования стационарного распределения является интегрируемость функции Яг. [c.330] В генетических моделях коэффициент диффузии Vix) =х —x)/ 2N) положителен в интервале (О, 1) и обращается в нуль на его границах, причем его производная V x) на левой границе положительна, а на правой отрицательна. Снос может менять знак в (О, 1), но на левой границе он неотрицателен, а на правой неположителен. Благодаря этим особенностям проверка характера границ значительно упрощается. [c.330] Поэтому в окрестности границы хг = О функции и R интегрируемы, а / 2 неинтегрируема. Следовательно, эта граница является захватывающей. Аналогичный характер имеет граница Хг = 1, если М(1)=0 —для доказательства молшо аппроксимировать функции вблизи Хт = 1, но проще заменой переменных z = 1 — х свести этот случай к уже изученному, переводя границу в начало координат. Полученный результат свидетельствует о том, что нри любой форме отбора с постоянными приспособленностями в нонуляции достигается генетическая однородность. Действительно, отбор оказывает влияние на генетическую структуру, когда есть из чего выбирать поэтому в гомозиготных популяциях коэффициент сноса равен нулю. [c.331] Ж(0)/У (0) о и функция Нг в окрестности нуля интегрируема. [c.332] В связи с сингулярностью граничных точек граничпые условия для уравнений Колмогорова не произвольны. Если за конечное время процесс ие выходит с ненулевой вероятностью на границу, то ее наличие никак не сказывается иа иоведении процесса. Поэтому граничные условия для определения фундаментального решения задавать по нужно. Поскольку в генетических ситуациях невозможны скачкообразные переходы, то на захватывающей границе может быть лишь поглощение. В этом случае граничные условия так ке не задаются. [c.332] Уравнение Колмогорова не обязательно рассматривать иа всем пространстве состояний. Если изучать поведение процесса на (а, Ъ) (О, 1), то границы уже не будут сингулярны и к уравнениям дописываются соответствующие граничные условия. Например, можно исследовать задачу о времени первого достижения точки а е (О, р), исходя из точки р. Д.ЛЯ этого следует рассматривать процесс на промен утке а, 1), причем граница а должна быть поглощающей — тогда распределение времени выхода через а совпадает с распределением времени первого достижения а. Достигнув а, траектория пе может вернуться внутрь (О, 1), поэтому граничное условие иринимает вид fia, X, t) = 0. Если исследовать условную вероятность достижения траекторией границы а, не проходя через точку b р, то следует рассматривать вероятность выхода через а для траектории процесса на а, Ь), у которого обе границы являются поглощающими. [c.332] Вернуться к основной статье