ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы О построении полностью консервативных сплайн-схем повышенного порядка аппроксимации из "Математическое моделирование трубопроводных сетей и систем каналов" Рассмотрение данного типа схем начнем с наиболее простого случая - использования сплайнов при решении обыкновенных дифференциальны уравнений (см., например, [98, 329]). [c.168] для построения единственного сплайна требуется замкнуть систему (2.335, 2.336) еще -1) -ым уравнением. [c.170] Перейдем к анализу консервативности построенной сплайн-схемы. [c.170] О - узлы основной конечно-разностной сетки. [c.170] Н - узлы вспомогательной конечно-разностной сетки. [c.170] Построенная сплайн-схема (2.333) для решения обыкновенного дифференциального уравнения (2.329) не является конечно-разностной. Несмотря на это, исследуем свойство ее консервативности. Сплайн-схема оперирует непрерывными функциями (при достаточном порядке сплайнов), поэтому разрывы функций на любой проведенной границе принципиально отсутствуют. При доказательстве консервативности сплайн-схемы перейдем к ее разностному аналогу и исследуем данный вопрос уже для этого аналога. [c.172] Для этого достаточно провести через узлы расчетной сетки касательные, точки пересечения которых и будут являться искомым разбиением х. ( ) (рис. 2.17). [c.172] Уравнения (2.354) являются консервативными по построению, поскольку для аппроксимации дивергентных производных используются дивергентные разностные аналоги. Однако данная система не является полностью консервативной. Продемонстрируем вышесказанное. [c.175] Сплайн-схема (2.362) аппроксимирует недивергентную форму записи законов сохранения массы, импульса и энергии (2.36). Поскольку в узлах пространственно-временной расчетной сетки выполняются дифференциальные формы записи данных законов, то в узлах расчетной сетки также выполняются и дивергентные формы записи основных законов сохранения. [c.179] Выполнение законов сохранения в дифференциальной форме записи в узлах расчетной сетки приводит к выполнению в данных узлах всевозможных представлений данной системы (например, уравнения для кинетической энергии, полной энергии, энтропии и т.д.). Существование дивергентных дискретных аналогов для всех дивергентных дифференциальных производных в этом случае обеспечивает не только консервативность, но и полную консервативность [69, 70, 96] сплайн-схемы. [c.179] Данный вывод аналогично распространяется на уравнения механики сплошных сред любой размерности. [c.179] Таким образом, показано, что сплайн-схема обладает полной консервативностью. Это позволяет моделировать уравнения газо- и гидродинамики с повышенной адекватностью и точностью за счет корректного моделирования всех возможных законов сохранения [102. [c.179] С другой стороны, сплайн-схемы являются неявными, что повьппает их устойчивость по сравнению с явными и полунеявными схемами [69, 70, 97]. Повышение порядка используемых сплайнов позволяет повысить порядок аппроксимации решаемых уравнений газо- и гидродинамики, что также повышает точность расчетов. Вопросы устойчивости сплайн-схем могут быть рассмотрены по ранее приведенным алгоритмам рассуждений. [c.179] Применяя полученные формулы, не составляет труда исследовать аппроксимацию системы (2.362). Здесь, для общности рассуждений, будем считать, что распределения каждого газодинамического параметра аппроксимируются сплайнами со своим порядком аппроксимации. [c.180] Сплайн по оси Ох строится стандартным способом. Если при решении системы дифференциальных уравнений на границе расчетной области накладывается граничное условие (условия) на некоторую функцию у х, t = onst) или на ее производные, данные условия включаются в граничные соотношения при построении сплайна. В качестве остальных ГУ можно взять так называемые нейтральные условия нулевые значения производных высших порядков. [c.181] При построении сплайна по оси Ot воспользуемся другим алгоритмом. Допустим, найдено решение на j -ом временном слое и временных слоях с меньшими номерами. [c.181] Здесь считается, что значения площадей поперечного сечения заранее известны, поэтому для величины / используется верхний индекс у +1 вместо (/ ) . [c.182] Вернуться к основной статье